Màxim verosimilitut

En estadística, l'estimació per màxim verosimilitut (coneguda també com EMV i, en ocasions, MLE per les seues sigles en anglés) és un método àmpliament utilisat per a ajustar models i estimar els seus paràmetros a partir de senyes observades. Este enfocament es basa en trobar els valors dels paràmetros que maximizar la funció de verosimilitut, és dir, la provabilitat de que el conjunt de senyes observat haja segut generat pel model baix dits paràmetros. En atres paraules, busca aquells valors que fan que les senyes observades siguen els més plausibles possibles dins del marc del model propost.

El método de màxim verosimilitut posseïx propietats estadístiques desijables, com a consistència, eficiència i normalitat asintòtica, lo que ho convertix en una ferramenta fonamental en l'inferència estadística i en una àmplia gama de disciplines, des de l'economia fins a la biologia evolutiva. Ademés, la seua flexibilitat permet aplicar-ho a models tant simples com a complexos, inclosos els que involucren distribucions no llineals o paràmetros múltiples.

En l'àmbit de la biologia evolutiva i la filogenético, l'estimació per màxim verosimilitut s'utilisa per a inferir relacions evolutives entre organismes a partir de seqüències moleculars. En este context, es busquen els arbres filogenético i els models de substitució de nucleòtits o aminoàcits que maximizar la provabilitat d'observar les seqüències donades. Este enfocament ha demostrat ser un dels més robusts i precisos per a la reconstrucció filogenético, ya que incorpora models explícits d'evolució i permet evaluar el verosimilitut de diferents hipòtesis evolutives per mig de criteris estadístics comparatius.

Història

Ronald Fisher en 1913

Va ser recomanat, analisat i popularisat per R. A. Fisher entre 1912 i 1922, encara que havia segut utilisat abans per Carl Friedrich Gauss, Pierre-Simon Laplace, Thorvald N. Thiele i Francis Edgeworth.

Fonament

Suponga's que es té una mostra $x_1,x_2,\dots ,x_n$ de $n$ observacions independents i idénticamente distribuïdes extretes d'una funció de distribució desconeguda en funció de densitat (o funció de provabilitat) $f_0(\cdot )$. Se sap que $f_0$ pertany a una família de distribucions $\{f(\cdot |\theta ),\theta \in \Theta \}$, cridada model paramètric, de manera que $f_0$ correspon a $\theta ={\theta }_0$, que és el verdader valor del paràmetro. Es desija trobar el valor $\hat{\theta }$ (o estimador) que estiga lo més pròxim possible al verdader valor ${\theta }_0$.

Tant $x_i$ com $\theta$ poden ser vectores.

L'idea d'este método és la de trobar primer la funció de densitat conjunta de totes les observacions, que baix condicions d'independència, és

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n|\theta )=f(x_1|\theta )\cdot f(x_2|\theta )\cdots f(x_n|\theta )$

Observant esta funció baix un àngul llaugerament distint, es pot supondre que els valors observats $x_1,x_2,\dots ,x_n$ són fixos mentres que $\theta$ pot variar lliurement. Esta és la funció de verosimilitut:

$ℒ(\theta |x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^{n}f(x_i|\theta ).$

En la pràctica, depenent de la distribució que va generar les senyes, se sol utilisar el logaritmo d'esta funció:

$\hat{\ell }(\theta |x_1,\dots ,x_n)=\ln ℒ=\sum _{i=1}^n\ln f(x_i|\theta ).$

El método del màxim verosimilitut estima ${\theta }_0$ buscant el valor de $\theta$ que maximizar $\ln ℒ$. Est és el cridat estimador de màxim verosimilitut (MLE) de ${\theta }_0$:

${\hat{\theta }}_{\mathrm{m}\mathrm{l}\mathrm{e}}=\underset{\theta \in \Theta }{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\hat{\ell }(\theta |x_1,\dots ,x_n).$

En ocasions este estimador és una funció explícita de les senyes observades $x_1,x_2,\dots ,x_n$, pero moltes voltes cal recórrer a optimisacions numèriques. També pot ocórrer que el màxim no siga únic o no existixca.

En l'exposició anterior s'ha assumit l'independència de les observacions, pero no és un requisit necessari: n'hi ha prou en poder construir la funció de provabilitat conjunta de les senyes per a poder aplicar el método. Un context en el que açò és habitual és el de l'anàlisis de séries temporals.

Propietats de l'estimador de màxim verosimilitut

En molts casos, l'estimador obtingut per màxim verosimilitut posseïx un conjunt de propietats asintòtiques atractives:

• Consistència
• Normalitat asintòtica
• Eficiència
• Eficiència de segon orde (despuix de corregir el biaix).

Consistència

Baixe certes condicions prou habituals, l'estimador de màxim verosimilitut és consistent: si el número d'observacions n tendix a infinit, l'estimador $\hat{\theta }$ convergix en provabilitat al seu valor verdader:

${\hat{\theta }}_{\mathrm{m}\mathrm{l}\mathrm{e}}\stackrel{p}{\to }{\theta }_0.$

Baix condicions alguna cosa més fortes, la convergència és casi segura:

${\hat{\theta }}_{\mathrm{m}\mathrm{l}\mathrm{e}}\stackrel{a.s.}{\to }{\theta }_0.$

Normalitat asintòtica

Si les condicions per a la consistència es complixen i, ademés,

1. ${\theta }_0\in interior(\theta )$ ;
2. $f(x|\theta )>0$ i és dos voltes contínuament diferenciable respecte a θ en algun entorn N de θ₀;
3. ∫ sup_θ∈N||∇_θf(x|θ)||dx < ∞, i ∫ sup_θ∈N||∇_θθf(x|θ)||dx < ∞;
4. I = I[∇_θlnf(x|θ₀) ∇_θlnf(x|θ₀)′] existix i no és singular;
5. $E[su{p}_{\theta \in N}\parallel \underset{\theta \theta }{▽}\ln (f(x|\theta ))\parallel ]<\mathrm{\infty }$,

llavors l'estimador de màxim verosimilitut té una distribució asintòtica normal:

$\sqrt{n}({\hat{\theta }}_{\mathrm{m}\mathrm{l}\mathrm{e}}-{\theta }_0)\stackrel{d}{\to }𝒩(0,I^{-1}).$

Invariancia funcional

Si $\hat{\theta }$ és el EMV de θ i g(θ) és una transformació de θ, llavors el EMV de α = g(θ) és

$\hat{\alpha }=g(\hat{\theta }).$

Ademés, el EMV és invariante front a certes transformacions de les senyes. En efecte, si $Y=g(X)$ i $g$ una aplicació biyectiva que no depén dels paràmetros que s'estimen, llavors la funció de densitat d'I és

$f_Y(y)=f_X(x)/|g^{\prime }(x)|$

És dir, les funcions de densitat de X i I diferixen únicament en un terme que no depén dels paràmetros. Aixina, per eixemple, el EMV per als paràmetros d'una distribució lognormal són els mateixos que els de una distribució normal ajustada sobre el logaritmo de les senyes d'entrada.

Atres propietats

El EMV és √n-consistent i asintóticamente eficient. En particular, açò significa que el biaixe és zero fins a l'orde n^−1/2. No obstant, en obtindre els térmens de major orde de l'expansió de Edgeworth de la distribució de l'estimador, θ_emv té un biaix d'orde ⁻¹. Este biaix és igual a

$b_s\equiv \mathrm{E}[({\hat{\theta }}_{\mathrm{m}\mathrm{l}\mathrm{e}}-{\theta }_0{)}_s]=\frac{1}{n}\cdot I^{si}{I}^{jk}(\frac{1}{2}{K}_{ijk}+J_{j,ik}),$

fòrmula a on s'ha adoptat la convenció d'Einstein per a expressar sumes; I ^jk representa la j,k-ésima component de l'inversa de la matriu d'informació de Fisher i

$\frac{1}{2}{K}_{ijk}+J_{j,ik}=\mathrm{E}[\frac{1}{2}\frac{{\partial }^3\ln f_{{\theta }_0}(x_t)}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j\partial {\theta }_k}+\frac{\partial \ln f_{{\theta }_0}(x_t)}{\partial {\theta }_j}\frac{{\partial }^2\ln f_{{\theta }_0}(x_t)}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_k}].$

Gràcies a estes fòrmules és possible estimar el biaix de segon orde de l'estimador i corregir-ho per mig de substracción:

${\hat{\theta }}_{\mathrm{m}\mathrm{l}\mathrm{e}}^{*}={\hat{\theta }}_{\mathrm{m}\mathrm{l}\mathrm{e}}-\hat{b}.$

Este estimador, insesgado fins a l'orde n⁻¹, es diu estimador de màxim verosimilitut en correcció del biaix.

Eixemples

Distribució uniforme discreta

Suponga's que n boles numerades d'1 a n es coloquen en una urna i que una d'elles s'extrau a l'encert. Si es desconeix n, la seua EMV és el número m que apareix en la bola extreta: la funció de verosimilitut és 0 per a n < m i 1/n per a n ≥ m; que alcança el seu màxim quan n = m. l'esperança matemàtica de $\hat{n}$ , és (n + 1)/2. Com a conseqüència, el EMV de n infravalorará el verdader valor de n per (n − 1)/2.

Distribució discreta en paràmetros discrets

Suponga's que es llança una moneda biaixada a l'aire 80 voltes. La mostra resultant pot ser alguna cosa aixina com x₁ = H, x₂ = T, ..., x₈₀ = T, i es conta el número de cares, "H". La provabilitat de que ixca cara és p i la de que ixca creu, 1 − p (de modo que p és el paràmetro θ). Suponga's que s'obtenen 49 cares i 31 creus. Imagine's que la moneda es va extraure d'una caixa que contenia tres d'elles i que estes tenen provabilitats p iguals a 1/3, 1/2 i 2/3 encara que no se sap quin d'elles és quin.

A partir de les senyes obtingudes de l'experiment es pot saber quin és la moneda en el màxim verosimilitut. Usant la funció de provabilitat de la distribució binomial en una mostra de tamany 80, número d'èxits igual a 49 i distints valors de p, la funció de verosimilitut pren tres valors següents:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Pr}(\mathrm{H}=49\mid p=1/3)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{49})(1/3{)}^{49}(1-1/3{)}^{31}\approx 0.000,\\ \mathrm{Pr}(\mathrm{H}=49\mid p=1/2)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{49})(1/2{)}^{49}(1-1/2{)}^{31}\approx 0.012,\\ \mathrm{Pr}(\mathrm{H}=49\mid p=2/3)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{49})(2/3{)}^{49}(1-2/3{)}^{31}\approx \mathrm{0.054.}\end{array}$

El verosimilitut és màxim quan p = 2/3 i este és, per lo tant, el EMV de p.

Distribució discreta en paràmetros continus

Ara supongam que només hi havia una moneda pero la seua p podria haver segut qualsevol valor 0 ≤ p ≤ 1. La funció de verosimilitut a maximizar és

$L(p)=f_D(\mathrm{H}=49\mid p)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{49})p^{49}(1-p{)}^{31},$

i que la maximización es realisa sobre tots els valors possibles de 0 ≤ p ≤ 1.

Provabilitat de diferents valors dels paràmetros de proporció per a un procés binomial en t = 3 i n = 10

Una forma d'maximizar esta funció és diferenciant sobre p i assignant a zero:

$\begin{array}{cc}0& =\frac{\partial }{\partial p}((\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{49})p^{49}(1-p{)}^{31})\\ & \propto 49p^{48}(1-p{)}^{31}-31p^{49}(1-p{)}^{30}\\ & =p^{48}(1-p{)}^{30}[49(1-p)-31p]\\ & =p^{48}(1-p{)}^{30}[49-80p]\end{array}$

La qual cosa posseïx les soluciones p = 0, p = 1, and p = 49/80. La solució que maximizar el verosimilitut és clarament p = 49/80 (ya que p = 0 i p = 1 resulten en un verosimilitut nul). Per lo tant el estimador de màxima provabilitat per a p és 49/80.

Este resultat és fàcilment generalisat si se substituïx una lletra com ser t en lloc del 49 per a representar el número de 'èxits' observats dels nostres ensajos de Bernoulli, i una lletra per eixemple n en lloc del 80 per a representar el número d'ensajos de Bernoulli. El mateix càlcul exacte proveïx el estimador de màxim verosimilitut t / n per a tota seqüència de n ensajos de Bernoulli resultant en t 'èxits'.

Distribució contínua en paràmetros continus

Per a la distribució normal $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ que posseïx una funció densitat de provabilitat

$f(x\mid \mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}),$

La funció densitat de provabilitat corresponent per a una mostra de n variables aleatòries normals aleatoriamente distribuïdes identicamente de manera independent (la provabilitat) és

$f(x_1,\dots ,x_n\mid \mu ,{\sigma }^2)=\prod _{i=1}^{n}f(x_i\mid \mu ,{\sigma }^2)={\left(\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\right)}^{n/2}\exp (-\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}),$

o més convenientment:

$f(x_1,\dots ,x_n\mid \mu ,{\sigma }^2)={\left(\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\right)}^{n/2}\exp (-\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+n(\overline{x}-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}),$

a on $\overline{x}$ és la mija de la mostra.

Esta família de distribucions posseïx dos paràmetros: θ = (μ, σ), per lo que s'maximizar el verosimilitut, $ℒ(\mu ,\sigma )=f(x_1,\dots ,x_n\mid \mu ,\sigma )$, sobre abdós paràmetros simultàneament, o si és possible, individualment.

Ya que el logaritmo és una funció contínua estrictament creixent sobre el range of the likelihood, els valors que maximizar el verosimilitut també maximizar el seu logaritmo. Ya que maximizar el logaritmo a sovint requerix d'àlgebra simple, és el logaritmo el que s'maximizar a continuació. (Nota: el verosimilitut-logarítmic està estretament relacionada en l'entropía d'informació i l'informació de Fisher.)

$\begin{array}{cc}0& =\frac{\partial }{\partial \mu }\log ({\left(\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\right)}^{n/2}\exp (-\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+n(\overline{x}-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}))\\ & =\frac{\partial }{\partial \mu }(\log {\left(\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\right)}^{n/2}-\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+n(\overline{x}-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})\\ & =0-\frac{-2n(\overline{x}-\mu )}{2{\sigma }^2}\end{array}$

la qual cosa es resol fent

$\hat{\mu }=\overline{x}=\sum _{i=1}^n{x}_i/n.$

Es tracta efectivament del màxim de la funció, ya que és l'únic punt d'inflexió en μ i la segona derivada és estrictament menor que zero. El seu valor d'expectativa és igual al paràmetro μ de la distribució donada,

$E\left[\hat{\mu }\right]=\mu ,$

lo que significa que l'estimador de verosimilitut màxim $\hat{\mu }$ no està biaixat.

Similarmente es diferencia el verosimilitut logarítmic sobre σ i s'iguala a zero:

$\begin{array}{cc}0& =\frac{\partial }{\partial \sigma }\log ({\left(\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\right)}^{n/2}\exp (-\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+n(\overline{x}-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}))\\ & =\frac{\partial }{\partial \sigma }(\frac{n}{2}\log \left(\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\right)-\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+n(\overline{x}-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})\\ & =-\frac{n}{\sigma }+\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2+n(\overline{x}-\mu {)}^2}{{\sigma }^3}\end{array}$

la qual cosa es resol per mig de

${\hat{\sigma }}^2=\sum _{i=1}^n(x_i-\hat{\mu }{)}^2/n.$

Insertant $\hat{\mu }$ s'obté

${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{x}_i{x}_j.$

Per a calcular el seu valor esperat, és convenient reescriure l'expressió en térmens de variables aleatòries de mija zero (error estadístic) ${\delta }_i\equiv \mu -x_i$. Expressant l'estimador per mig d'estes variables s'obté

${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\mu -{\delta }_i{)}^2-\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(\mu -{\delta }_i)(\mu -{\delta }_j).$

Simplificant l'expressió anterior, utilisant el fet que $E\left[{\delta }_i\right]=0$ i $E[{\delta }_i^2]={\sigma }^2$, permet obtindre

$E\left[\widehat{{\sigma }^2}\right]=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2.$

La qual cosa significa que l'estimador $\hat{\sigma }$ és biaixat. No obstant, $\hat{\sigma }$ és consistent.

Formalment diem que el estimador de màxim verosimilitut per a $\theta =(\mu ,{\sigma }^2)$ és:

$\hat{\theta }=(\hat{\mu },{\hat{\sigma }}^2).$

En este cas, els MLE podrien obtindre's individualment. En general, pot ser que no siga el cas, i els MLE tindrien que obtindre's simultàneament.

Variables no independents

Pot donar-se el cas de que les variables estiguen correlacionadas, és dir, que no siguen independents. Dos variables aleatòries X i I són independents només si la seua funció de densitat de provabilitat conjunta és el producte de les funcions de densitat de provabilitat individuals, és dir

$f(x,y)=f(x)f(y)$

Supongase que es construïx un vector gausiano d'orde n a parir de variables aleatòries $(x_1,\dots ,x_n)$, a on cada variable posseïx valor mig correspondmiente a $({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n)$. I siga la matriu covariant expressada per mig de $\Sigma ,$.

La funció de densitat de provabilitat conjunta d'estes n variables aleatòries ve donada llavors per:

$f(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}\sqrt{\text{det}(\Sigma )}}\exp (-\frac{1}{2}[x_1-{\mu }_1,\dots ,x_n-{\mu }_n]{\Sigma }^{-1}{[x_1-{\mu }_1,\dots ,x_n-{\mu }_n]}^T)$

En el cas de dos variables, la funció de densitat de provabilitat conjunta ve donada per:

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_x{\sigma }_y\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp [-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}(\frac{(x-{\mu }_x{)}^2}{{\sigma }_x^2}-\frac{2\rho (x-{\mu }_x)(y-{\mu }_y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}+\frac{(y-{\mu }_y{)}^2}{{\sigma }_y^2})]$

En este i atres casos en els que existix una funció de densitat conjunta, la funció de verosimilitut es definix com dalt, en Principis, utilisant esta densitat.

Aplicacions

L'estimador de màxim verosimilitut s'usa dins d'un gran número de models estadístics:

• models llineals els models llineals generalisats;

• Anàlisis factorial, tant exploratori com confirmatorio;
• En filogenético, s'usa per a estimar l'arbre en major provabilitat de donar lloc a les senyes observades.
• i moltes atres situacions en el context dels tests estadístics

Aplicació en Filogenético

El método de màxim verosimilitut (ML, Maximum Likelihood) és una ferramenta estadística empleada per a inferir relacions evolutives entre organismes a partir de senyes moleculars, morfològics o atres fonts d'informació biològica. Este enfocament busca l'arbre filogenético que maximizar la provabilitat d'observar les seqüències genètiques obtingudes, d'acort en un model de substitució evolutiu que descriu la forma en que ocorren els canvis en els llocs del ADN, ARN o proteïnes a lo llarc del temps.

A diferència de métodos més simples, com la parsimònia o les distàncies genètiques, el màxim verosimilitut integra paràmetros complexos, tals com taxes de mutació, heterogeneïtat entre llocs i diferències en la composició de bases nitrogenades, lo que permet obtindre estimacions més precises i realistes dels processos evolutius. Aixina mateix, en fonamentar-se en principis provabilístics, este método possibilita comparar models i arbres alternatius per mig de proves estadístiques com la raó de verosimilitut o criteris d'informació com AIC i BIC.

Per la seua robustea i capacitat per a incorporar models evolutius complexos, el màxim verosimilitut s'ha consolidat com un dels enfocaments més utilisats en filogenia molecular. Este método s'implementa en programes àmpliament reconeguts, com RAxML, IQ-TREE i PhyML, etc. que permeten construir arbres filogenético en soport estadístic sòlit i alta reproducibilidad analítica.

Aplicacions recents

En l'última década, l'estimació per màxim verosimilitut ha vist un creixent us en contexts d'alt‑dimensionalidad i aprenentage automàtic, lo que ha revelat noves llimitacions i produït extensions metodològiques. Per eixemple, en models de regressió llogística en moltes variables predictoras s'ha observat una “transició de fase” en l'existència de l'estimador de màxim verosimilitut, la qual cosa exigix un anàlisis cuidadós del disseny mostral i de les condicions de separació de les senyes.

Al mateix temps, s'han desenrollat versions “constrains” del método és dir, métodos de màxim verosimilitut en els que s'imponen restriccions per a calibrar millor els models quan la mostra no és representativa de l'univers objectiu lo que millora la validea de l'estimador en situacions de biaix de mostreig.

Estes innovacions reflectixen que, encara que el màxim verosimilitut seguix sent una peça central en inferència estadística, la seua aplicació en l'era de “senyes grans” i “models complexos” requerix adaptacions metodològiques.

Models evolutius

Un dels aspectes a definir a l'hora d'utilisar el método de màxim verosimilitut, és l'elecció del millor model evolutiu baix el qual es modelarà l'objecte d'estudi. Estos models proporcionen les regles sobre la provabilitat de que una base, o aminoàcit, se substituïxca per una atra a lo llarc de les branques d'un arbre filogenético, per lo que poden ser tan senzills com assumir una taxa de canvi única per a tots els possibles canvis posició a posició, o tan complexos com per a incloure un valor diferencial per a cada possible canvi. Són essencials per a calcular la verosimilitut dels arbres i per a corregir per diferències en taxes d'evolució entre linajes. Dins dels models més comuns, es troben:

Models per a ADN

Contemplen els quatre possibles valors de les bases nitrógenadas (A,G,CT) que pot prendre una posició donada en una seqüència de ADN.

Jukes-Cantor (JC69): Supon igual provabilitat de canvi entre totes les bases. És el model més simple.

Kimura dos paràmetros (K80): Distinguix entre transicions (A↔G, C↔T) i transversiones, assignant diferents provabilitats a cada event possible.

HKY85: Ademés de distinguir transicions i transversiones, permet freqüències desiguals de bases.

General Clave Reversible (GTR): Permet que cada tipo de canvi tinga la seua pròpia taxa i tolera freqüències de bases distintes.

Models per a proteïnes

Per al cas de les proteïnas, els models evolutius i les matrius de substitució que estos inclouen es calculen a partir dels 20 aminoàcits que poden ocupar cada posició de la cadena proteica.

JTT, WAG, LG, Dayhoff: Models en matrius empíriques obtingudes de grans cantitats de senyes, estimant el clim de cada aminoàcit a substituir-se per un atre. La matriu de substitució més utilisada és BLOSSUM62.

Vore també

• Funció de verosimilitut
• Filogenia
• Informació de Fisher
• Algoritme esperança-maximización

Bibliografia

• Anderson, Erling B. 1970. "Asymptotic Properties of Conditional Maximum Likelihood Estimators". Journal of the Royal Statistical Society B 32, 283-301.
• Andersen, Erling B. 1980. Discrete Statistical Models with Social Science Applications. North Holland, 1980.
• Debabrata Basu. Statistical Information and Likelihood : A Collection of Critical Essays by Dr. D. Basu ; J.K. Ghosh, editor. Lecture Notes in Statistics Volume 45, Springer-Verlag, 1988.

• Baum, D. A., & Smith, S. D. (2012). Tree thinking: An introduction to phylogenetic biology. Roberts & Co. ISBN: 9781936221165.

Enllaços externs

• Tutorial
• Implementació de l'estimació per màxim verosimilitut usant R
• Tutorial on maximum likelihood estimation en el Journal of Mathematical Psychology