Convergència en provabilitat

Archiu:Law-of-large-numbers.png

La Llei dels grans números assegura la convergència de la mija de la nostra població al valor real (si hi ha un).

La convergència en provabilitat es dona quan a mida que $n$, o el tamany de mostra, aumenta llavors la variable aleatòria (v.a.) pren valors propencs a una constant $c$ en major provabilitat. Un eixemple senzill d'açò seria, donat una v.a. que pren 2 valores c en provabilitat $1-1/n$ i $n$ en provabilitat $1/n$. Llavors en fer créixer n lo que ocorre és que el valor "n" de la v.a. aumenta pero la seua provabilitat disminuïx a una velocitat de (1/n) mentres que la provabilitat de que la v.a. prenga el valor c va tendint a 1.

Siga $X_n$ una variable aleatòria l'índex de la qual senyala el tamany de la mostra a partir de la qual dita variable aleatòria està construïda.

Es definix convergència en provabilitat

Es diu que la successió de variables aleatòries $X_n$ convergix en provabilitat a una constant c si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|X_n-c|>\epsilon )=0$ per a qualsevol $\epsilon$ >0, també s'escriu com $X_n\stackrel{P}{\to }c$.

El resultat anterior, en ajuda de les propietats de valor absolut es pot vore com

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|X_n-c|>ϵ)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(X_n-c>ϵ\cup c-X_n>ϵ)$

Implicacions

Siga $(\Omega ,ϝ,P)$ un espai de provabilitat, $X_n,X:\Omega \to R$ variables aleatòries. Llavors si la successió de $X_n$ convergix casi segurament, ho fa tambien en provabilitat.