Amplitut de provabilitat

Archiu:Hydrogen eigenstate n5 l2 m1.png

Una funció d'ona per a un sol electró en l'orbital atòmic 5d d'un àtom d'hidrogen. El cos sòlit mostra els llocs a on la densitat de provabilitat de l'electró és per damunt de cert valor (ací 0.02 nm−3): açò és calculat en l'amplitut de provabilitat. El to en la superfície coloreada mostra la fase complexa de la funció ondulatoria.

En mecànica quàntica, la amplitut de provabilitat és un número complejo utilisat per a descriure el comportament de sistemes. El quadrat del mòdul d'esta cantitat representa una provabilitat o densitat de provabilitat.

Les amplitut de provabilitat proporcionen una relació entre la funció d'ona (o, més generalment, d'un vector d'estat quàntic) d'un sistema i els resultats de les observacions d'aquell sistema, una primera relació va ser proposta per Max Born. L'interpretació dels valors d'una funció d'ona com l'amplitut de provabilitat és un pilar de l'interpretació de Copenhague de la mecànica quàntica. De fet, les propietats de l'espai de les funcions d'ona varen ser usades per a fer prediccions físiques (tals com certes emissions d'energia discreta per part dels àtoms) ans que qualsevol interpretació física d'una funció particular anara oferida. Born va ser premiat en 1954 en el premi Nóbel de Física per esta explicació, aixina la provabilitat aixina calculada és a voltes cridada la "provabilitat de Born". Estos conceptes provabilistes, concretament la densitat de provabilitat i les mides quàntiques, varen anar enèrgicament disputats en el temps que els físics originals que treballen en la teoria, com Schrödinger[l'aclariment necessitat] i Einstein.

És la font de les conseqüències misterioses i dificultats filosòfiques en les interpretacions de la mecànica quàntica- temes que continuen sent debatuts inclús hui.

Eixemple:

Un qubit pot expressar-se com una combinació llineal dels dos estats bàsics

|ψ⟩ = α |0⟩ + β |1⟩

a on α i β són les amplitut de provabilitat complexes. La possibilitat de que aplegar a un estat de qubit |0⟩ és |α|² i que la teua condició |1⟩ és |β|², perque s'aplica

|α|² + |β|² = 1

Visió general

Física

Despreciant algunes complexitat tècniques, el problema de la mida quàntica és el comportament d'un estat quàntic, per al qual el valor del observable Q a ser medit és incert. Tal estat està pensat per a ser una superposició coherent del dels autoestados de l'observable, estats en els que el valor de l'observable està únicament definit, per a diferents possibles valors de l'observable.

Quan una mida de Q és feta, el sistema (baixe l'interpretació de Copenhague) bota a un de els autoestados, retornant el autovalor al com l'estat pertany. La superposició dels estats els pot donar "pesos" desiguals. Intuitivamente és clar que els autoestados en més pes són els més "provables" en ser produïts. De fet, qualsevol dels autoestados superiors el sistema boten per la llei de provabilitat: la provabilitat de que un sistema bote a un estat és proporcional al valor absolut del factor numèric corresponent al quadrat. Estos factors numèrics es diuen amplitut de provabilitat, i esta relació usada per a calcular provabilitats d'estats quàntics purs daus (com a funcions d'ona) es diu la regla de Born.

Diferents observables poden definir descomposicions d'estat incompatibles. Els observables que no commuten definixen amplitut de provabilitat en conjunts diferents.

Matemàtica

En un modo formal , qualsevol sistema en mecànica quàntica està descrit per un estat, el qual és un vector |Ψ⟩, que residix en un abstracte espai de vectorial complex , cridat un espai de Hilbert . Est pot ser infinit- o finito-dimensional. Una presentació habitual d'un espai de Hilbert és que és una funció d'espai especial, cridada L2(L²(X)), en cert conjunt X, açò és algun espai de configuració o un conjunt discret.

Per a una funció mesurable &x3C8;, la condició llig:$\psi \in L^2(X)$

$\underset{X}{\int }|\psi (x){|}^2\mathrm{d}\mu (x)<\mathrm{\infty };$

Esta integral definix el quadrat de la norma de ψ. Si aquella norma és igual a 1, llavors

$\underset{X}{\int }|\psi (x){|}^2\mathrm{d}\mu (x)=1.$

Lo que en realitat significa que qualsevol element de L2(X) de norma 1 definix una mida de provabilitat en X i una expressió real no negativa L²(X) ψ(x) |2 definix la seua derivada de Radón Nikodym sobre la mida estàndar μ.

Si la mida estàndar μ damunt X és no-atòmic, com la mida de Lebesgue en la recta real, o en un espai tridimensional, o mides similars en varietatés, llavors una ona funció de valor real &x7C; ψ(x) |2 es diu una densitat de provabilitat; vore detalls avall. Si la mida estàndar en X consta de només àtoms ( cridarem tals conjunts discrets X), i especifica la mida de qualsevol x ∈ X igual a 1, llavors un integral en X és senzillament una suma i L²(X) ψ(x) |2 definix el valor de la mida de provabilitat en el conjunt {x}, en atres paraules, la provabilitat que el sistema quàntic estiga en l'estat x. Cóm les amplitut i els vectores estan relacionats pot ser entés en la base estàndar de L2(X), elements del com serà denotat per |x⟩ o ⟨x| (vore notació bra-ket ). En esta base

$\psi (x)=⟨x|\Psi ⟩$

especifica la proyecció d'un vector abstracte |Ψ⟩.

Matemàticament, moltes presentacions $L^2$ d'un sistema d'espai de Hilbert poden existir. Considerarem un no arbitrari , pero un convenient per a l'observable Q en qüestió. Un espai de configuració convenient X és tal que cada punt x produïx un valor únic de Q. Per a X discret açò significa que tots els elements de la base estàndar són vectores propis de Q. En atres paraules, Q serà diagonal en esta base. Llavors psi (x) és la "amplitut de provabilitat" per al autoestado ⟨x|. Si este correspon a un valor propi no-degenerado de Q, llavors |psi (x)|^2 dona la provabilitat del corresponent valor de Q per a l'estat inicial |Ψ⟩.

Per a X no discret no pot haver tals estats com a ⟨x| en L2(X), pero la descomposició és en algun sentit possible; vore teoria espectral i teorema espectral per a una explicació cuidadosa.

Provabilitats i funcions d'ona

Si l'espai de configuració X és continu (alguna cosa com la recta real o l'espai euclidiano, vore más dalt), llavors no hi ha estats quàntics vàlits que corresponen a un particular Q Q X, i la provabilitat de que el sistema estiga "en l'estat x" sempre serà zero. Un eixemple arquetípico d'açò és l'espai L2(R) construït en una mida 1-dimensional de Lebesgue; esta és usada per a l'estudi del moviment en una dimensió. Esta presentació d'un espai infinit-dimensional de Hilbert correspon a la descomposició espectral de l'operador de coordenada: ⟨X | X X Ψ⟩ = x⋅⟨x X Ψ⟩, x X R en este eixemple. A pesar de que no hi ha tals vectores com a ⟨x |, estrictament parlant, l'expressió ⟨x x Ψ⟩ pot ser significativa, per al cas, en teoria espectral.

Generalment, és el cas quan el moviment d'una partícula està descrit en l'espai de posició, a on la funció d'amplitut de provabilitat corresponent &x3C8; és la funció d'ona.

Si la funció x ∈ X ∈ L2(X), ‖ψ‖ = 1 representa el vector d'estat quàntic xΨ⟩, llavors l'expressió real | ψ(x) |2, que depén de x, forma una funció de densitat de la provabilitat del estat donat. La diferència d'una funció de densitat de simplement una provabilitat numèrica significa que un tindria que integrar esta funció de mòdul al quadrat sobre alguns (menuts) dominis en X per a obtindre valors de provabilitat – com va ser declarat més dalt, el sistema no pot estar en algun estat x en una provabilitat positiva. Dona a abdós amplitut i densitat de funció a una dimensió física, a diferència d'una provabilitat sense dimensió. Per eixemple, per a una funció d'ona tridimensional l'amplitut té una dimensió "ecxtraña" [L−3/2].

Note que per a abdós casos continu i infinit discret no tots mesurables, o inclús una funció contínua (i.i. una funció d'ona possible) definix un element de L2(X); vore Normalisació avall.