Teoria espectral

En matemàtica, teoria espectral és un terme inclusivo per a les teories que estenen la teoria de vectores i valors propis d'una matriu quadrada a la més àmplia teoria de l'estructura d'operadors en certs espais matemàtics. És resultat dels estudis del àlgebra llineal i de les solucions de sistemes d'equacions llineals i les seues generalisacions. La teoria està conectada en la de funcions analítiques degut a que les propietats espectrals d'un operador estan estretament relacionats en les funcions analítiques del paràmetro espectral.

Trasfondo matemàtic

La denominació teoria espectral va ser introduïda per David Hilbert en la seua formulació original de la teoria del espai de Hilbert, que va ser llançada en térmens de formes quadràtiques en infinites variables. El teorema espectral original va ser concebut per tant com una versió de la teorema d'eixos principals d'un elipsoide, en un entorn de dimensió infinita. El posterior descobriment en mecànica quàntica de que la teoria espectral podria explicar les característiques del espectres atòmics va ser per lo tant fortuïta.

Històricament, hi ha tres modos principals de formular teoria espectral, tots els quals mantenen la seua utilitat. Despuix de la formulació inicial de Hilbert, el desenroll posterior d'espais de Hilbert abstractes i la teoria espectral d'un únic operador normal sobre ells varen ser molt en paralel en els requeriments de la física, en particular de la mà de von Neumann. La teoria es va estendre posteriorment per a incloure àlgebra de Banach de forma abstracta. Este desenroll conduïx a la representació de Gelfand, que cobrix el cas conmutativo, i inclús al anàlisis harmònic no conmutativo.

Pot posar-se de manifest esta diferència en enllaçar en l'anàlisis de Fourier. La transformada de Fourier en la recta real és, en cert sentit, la teoria espectral de diferenciació via l'operador diferencial. Pero per a cobrir els fenomens ya s'ha de tractar en autofunciones generalisades (per eixemple, per mig d'un Espai de Hilbert equipat). Per un atre costat, és fàcil construir un àlgebra de grup, l'espectre dels quals reflectix les propietats bàsiques de la transformada de Fourier, i açò es porta a terme per mig de la dualitat de Pontryagin.

També es poden estudiar les propietats espectrals d'operadors en espais de Banach. Per eixemple, els operadors compactes en espais de Banach tenen moltes propietats espectrals similars a la de matrius.

Trasfondo físic

El trasfondo de la física de vibracions ha segut explicat d'esta manera:

La teoria matemàtica no depén de tals consideracions físiques a nivell tècnic, pero hi ha eixemples de l'influència mútua (vore per eixemple l'artícul de Mark Kac Ca you hear the shape of a drum?). L'adopció per part de Hilbert del terme 'espectre' s'ha atribuït a un document de 1897 de Wilhelm Wirtinger sobre l'equació diferencial d'Hill (per Jean Dieudonné), i va ser assumit pels seus estudiants durant la primera década de el XX, entre ells per Erhard Schmidt i Hermann Weyl. La base conceptual dels espais de Hilbert va ser desenrollada a partir de les idees de Hilbert per Erhard Schmidt i Frigyes Riesz. Va ser casi vint anys despuix, quan la mecànica quàntica es formula en térmens de l'equació de Schrödinger, que es realisa la conexió en espectres atòmics. Ya s'havia sospitat abans una conexió en la física matemàtica de vibracions, segons lo comentat per Henri Poincaré, pero va ser rebujada per simples raons quantitatives, a falta d'una explicació de la série de Balmer. Cfr. El posterior descobriment en mecànica quàntica de que la teoria espectral podria explicar les característiques dels espectres atòmics va ser per lo tant fortuït, en lloc de ser part de la teoria espectral de Hilbert.

Referències generals

• Edward Brian Davies (1996). Spectral Theory and Differential Operators; Volume 42 in the Cambridge Studies in Advanced Mathematics., Cambridge University Press. ISBN 0-521-58710-7.

• Nelson Dunford, Jacob T Schwartz (1988). Linear Operators, Spectral Theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space (Part 2), Paperback reimpressió de 1967 edició, Wiley. ISBN 0-471-60847-5.?

• Nelson Dunford, Jacob T Schwartz (1988). Linear Operators, Spectral Operators (Part 3), Paperback reimpressió de 1971 edició, Wiley. ISBN 0-471-60846-7.

• Sadri Hassani (1999). «Chapter 4: Spectral Decomposition», Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations, Springer. ISBN 0-387-98579-4.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001). Spectral theory of linear operators, Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.

• Shmuel Kantorovitz (1983). Spectral Theory of Banach Space Operators, Springer.

• Arch W. Naylor, George R. Ven (2000). «Chapter 5, Part B: The Spectrum», Linear Operator Theory in Engineering and Science; Volume 40 of Applied mathematical sciences, Springer, p. 411. ISBN 0-387-95001-X.

• ^{[enllaç trencat]}

Vore també

• Espectre d'un operador, formalisme resolvent, descomposició d'un espectre (anàlisis funcional)
• Ràdio espectral, teorema espectral
• Operador autoadjunto, Funcions dels operadors, teoria de l'operador
• Teoria de Sturm-Liouville, equació integral s, teoria de Fredholm
• Operador compacte, operadors isospéctricos, completitud
• Parells de Lax
• Geometria espectral
• Teoria espectral de grafos
• Llista dels temes d'anàlisis funcional