Elipsoide

Elipsoide

Un elipsoide.

Un elipsoide és una superfície curva tancada que les seues tres seccions ortogonals principals són elíptiques, és dir, són originades per plans que contenen dos eixos cartesianos cada pla.

En matemàtica, és una cuádrica anàloga a l'elipse, pero en tres dimensions.

Un elipsoide s'obté en deformar» una esfera, per mig d'una transformació homollògica, en la direcció de les seues tres diàmetros ortogonals.

Al rotar una elipse al voltant d'un dels seus dos eixos s'obté un elipsoide de revolució o esferoide.

Equació cartesiana d'un elipsoide

Eixemples de elipsoide en equació la ^x2⁄_a² + ⁱ²⁄_b² + ^z2⁄_c² = 1:
- Esfera, a = b = c = 4, dalt;
- Esferoide, a = b = 5, c = 3, avall a l'esquerra;
- Elipsoide, a = 4.5, b = 6; c = 3, avall a la dreta.

L'equació d'un elipsoide en centre en l'orige de coordenades i eixos coincidentes en els cartesianos, és:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

a on a, b i c són les llongituts dels semieixos de l'elipsoide respecte dels eixos x, i, z, respectivament; són número real positius i determinen la forma de l'elipsoide. Si dos d'estos semieixos són iguals, l'elipsoide és un esferoide; si els tres són iguals, es tracta d'una esfera.

Superfície

La superfície d'un elipsoide està donada per la següent fòrmula:

$S=2\pi (c^2+b\sqrt{a^2-c^2}E(\alpha ,m)+\frac{b{c}^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(\alpha ,m)),$

a on

$\alpha =\{\begin{array}{c}\arccos \left(\frac{c}{a}\right)\text{achatado}o\text{escaleno}\\ \arccos \left(\frac{a}{c}\right)\text{alargado}\end{array},$

és el seu excentricitat angular, $m=\frac{b^2-c^2}{b^2{\mathrm{sen}}^2(\alpha )}$, i $F(\alpha ,m)$, $E(\alpha ,m)$ són les integrals elíptiques de primera i segona espècie.

Una equació aproximada de la seua superfície és:

$S\approx 4\pi {\left(\frac{a^p{b}^p+a^p{c}^p+b^p{c}^p}{3}\right)}^{1/p}$

a on p ≈ 1,6075. En esta expressió s'obté un error màxim de ±1,061%, en funció dels valors de a, b i c. El valor p = 8/5 = 1,6 és òptim per a elipsoide cuasi esfèrics, en un error relatiu màxim d'1,178%.

Vore també

• Cuádrica
• Esferoide
• Esfera
• Elipse
• Anex:Equacions de figures geomètriques