Homologia (geometria)

En geometria, una homologia és una transformació homográfica resultant d'efectuar una proyecció des d'un punt, en la que a cada u dels punts d'una figura plana li corresponen, respectivament, un punt de la seua figura homòloga, complint-se que:

1. Un punt P i la seua image P' sempre estan alineats en un punt cridat centre de l'homologia (O). El centre d'homologia és invariante.
2. L'image d'una recta R és una atra recta R'.
3. Una recta R i la seua image R' sempre es tallen sobre una recta cridada eix d'homologia (i). Cada punt sobre esta recta és invariante. Es denomina a eixe punt punt doble de la recta R.
4. L'incidència es preserva. Per eixemple si dos rectes R i S es tallen en un punt P, les seues imàgens R' i S' es tallaran en l'image del punt P P'.

Determinació imàgens de punts en un sistema d'homologia

Homologia

Homologia

Per a determinar l'image Q' d'un punt Q del pla, nos bastarem d'eixe parell de punts P i P' que tenim originalment. Tracem una recta PQ, que tindrà un punt doble sobre l'eix d'homologia. L'image d'eixa recta PQ tindrà que passar forçosament per eixe punt doble i per P'. Sobre l'image de PQ tindrà que estar Q'. També tindrà que estar Q' sobre la recta que unix el centre d'homologia O i Q. Interseccionando PQ' i OQ conseguirem l'image Q' buscada. Per a trobar l'image I' d'un punt I en l'infinit (punt virtual o impropi), es procedix de manera semblant. Es traça la recta PI (que serà una direcció), que talla a l'eix d'homologia (i) en un punt doble Q. Dita recta es transforma en la recta P'Q. L'image del punt I, com qualsevol atre punt, es troba sobre l'intersecció de la recta P'Q en la recta OI (en el pla euclídeo, les rectes PI i IOI' són paraleles). Es verifica que la recta L, paralela a l'eix d'homologia i pel punt I', el lloc geomètric de totes les imàgens dels punts impropis del pla, i rep la denominació de recta llímit.

Vore també

• Homografia
• Afinitat