Anàlisis de Fourier

Erro al crear miniatura:

Senyal temporal d'un baix de la nota musical corda lliure A (55 Hz).

Erro al crear miniatura:

Transformada de Fourier de la senyal temporal d'un baix de la nota musical corda lliure A (55 Hz). L'anàlisis de Fourier revela els components oscilatoris de señalesy funcions.

En matemàtiques, el anàlisis de Fourier és l'estudi de la forma general en que les funcions poden ser representats o aproximades per sumes de funcions trigonométricas simples. L'anàlisis de Fourier va sorgir de l'estudi de les séries de Fourier i du el nom de Joseph Fourier, qui va demostrar que representar una funció com una suma de funcions trigonométriques simplifica enormement l'estudi de la transferència de calor.

Hui, el tema de l'anàlisis de Fourier comprén un ampli espectre de les matemàtiques. En les ciències i l'ingenieria, el procés de descomposició d'una funció en components oscilatoris a sovint es denomina anàlisis de Fourier, mentres que l'operació de reconstrucció de la funció a partir d'estes peces es coneix com a síntesis de Fourier. Per eixemple, determinar qué freqüèncias components estan presents en una nota musical implicaria calcular la transformada de Fourier d'una nota musical muestreada. Després, es podria tornar a sintetisar el mateix sò en incloure els components de freqüència com es va revelar en l'anàlisis de Fourier. En matemàtiques, el terme anàlisis de Fourier a sovint es referix a l'estudi d'abdós operacions.

El procés de descomposició en sí es diu transformació de Fourier. El seu producte resultat, la transformada de Fourier, a sovint rep un nom més específic, que depén del domini i atres propietats de la funció que s'està transformant. Ademés, el concepte original de l'anàlisis de Fourier s'ha estés a lo llarc del temps per a aplicar-se a situacions cada volta més abstractes i generals, i el camp general a sovint es coneix com anàlisis harmònic. Cada transformada utilisada per a l'anàlisis (consulte la llista de transformades relacionades en Fourier ) té una transformada inversa corresponent que es pot utilisar per a la síntesis.

Usos

L'anàlisis de Fourier té molts usos científics - en la física, equacions diferencials parcials, teoria de números, combinatòria, processament de senyals, processament digital d'imàgens, teoria de la provabilitat, estadística, anàlisis forense, valoració d'opcions, la criptografia, anàlisis numèric, acústica, oceanografia, el sonar, òptica, la difracció, geometria, anàlisis d'estructures de proteïnes i atres àrees.

Esta àmplia aplicabilidad es deu a moltes propietats útils de les transformades:

Les transformades són aplicacions llineals i, en la normalisació adequada, també són unitàries (una propietat coneguda com teorema de Parseval o, més generalment, com el teorema de Plancherel, i més generalment a través de la dualitat de Pontryagin).

• Les transformades solen ser invertibles.
• Les funcions exponencials són funcions pròpies de diferenciació, lo que significa que esta representació transforma equacions diferencials llineals en coeficients constants en algebraiques ordinàries. Per lo tant, el comportament d'un sistema llineal invariante en el temps es pot analisar en cada freqüència de forma independent.
• Segons el teorema de convolución, les transformades de Fourier convertixen la complicada operació de convolución en una multiplicació simple, lo que significa que proporcionen una forma eficient de calcular operacions basades en convolución, com la multiplicació de polinomis i la multiplicació de números grans.

• La versió discreta de la transformada de Fourier (vore més avall) es pot evaluar ràpidament en computadores usant algoritmes de transformada ràpida de Fourier (FFT).

En medicina forense, els espectrofotómetros infrarrojos de laboratori utilisen l'anàlisis de transformada de Fourier per a medir les llongituts d'ona de la llum a les que un material absorbirà en l'espectre infrarrojo. El método FT s'utilisa per a decodificar les senyals medides i registrar les senyes de llongitut d'ona. I en usar una computadora, estos càlculs de Fourier es porten a terme ràpidament, de modo que en qüestió de segons, un instrument FT-IR operat per computadora pot produir un patró d'absorció de infrarrojos comparable al d'un instrument de prisma.

La transformació de Fourier també és útil com a representació compacta d'una senyal. Per eixemple, la compressió JPEG utilisa una variant de la transformació de Fourier (transformada de coseno discreta) de chicotetes peces quadrades d'una image digital. Els components de Fourier de cada quadrat es redonegen per a reduir la precisió aritmètica i els components dèbils s'eliminen per complet, de modo que els components restants es poden almagasenar de forma molt compacta. En la reconstrucció d'imàgens, cada quadrat de l'image es torna a ensamblar a partir dels components conservats aproximadament transformats de Fourier, que després es transformen a l'inversa per a produir una aproximació de l'image original.

Us en processament de senyals

En processar senyals, com a àudio, ones de radi, ones de llum, ones sísmiques i inclús imàgens, l'anàlisis de Fourier pot aïllar components de banda estreta d'una forma d'ona composta, concentrant-los per a una detecció o eliminació més fàcil. Una gran família de tècniques de processament de senyals consistix en transformar una senyal de Fourier, manipular les senyes transformades de Fourier d'una manera simple i invertir la transformació.

Alguns eixemples inclouen:

• Ecualización de gravacions d'àudio en una série de filtres de pas de banda ;
• Recepció de ràdio digital sense un circuit superheterodino, com en un teléfon celular modern o un escàner de ràdio;
• Processament d'imàgens per a eliminar artefactes periòdics o anisotrópicos tals com a irregularitats de video entrellaçat, artefactes de bandes de fotografies aérees de bandes o patrons d'ones d'interferències d'radiofrecuencia en una càmara digital;

Correlació creuada d'imàgens similars per a la co-alliniació;

• Cristalografia de rajos X per a reconstruir una estructura cristalina a partir del seu patró de difracció;
• Espectrometria de resonància ciclotrónica per transformada de Fourier per a determinar la massa de ions a partir de la freqüència del moviment del ciclotrón en un camp magnètic;
• Moltes atres formes d'espectroscòpia, incloent infrarrojos i de resonància magnètica nuclear espectroscòpies;
• Generació de espectrograma de sò utilisats per a analisar sons;
• Sonar passiu utilisat per a classificar objectius segons el soroll de la maquinària.

Variants de l'anàlisis de Fourier

Erro al crear miniatura:

Una transformada de Fourier i 3 variacions causades per mostreig periòdic (en l'interval T) i/o suma periòdica (en l'interval P) de la funció subjacent en el domini del temps. La relativa facilitat de càlcul de la seqüència DFT i la comprensió que brinda de S (f ) la convertixen en una ferramenta d'anàlisis popular.

Transformada de Fourier (contínua)

Artícul principal → Transformada de Fourier.

En la majoria dels casos, el terme sense calificar transformació de Fourier es referix a la transformació de funcions d'un argument continu real, i produïx una funció contínua de freqüència, coneguda com a distribució de freqüències. Una funció es transforma en una atra, i l'operació és reversible. Quan el domini de la funció d'entrada (inicial) és el temps (t), i el domini de la funció d'eixida (final) és la freqüència ordinària, la transformada de la funció s(t) a la freqüència f ve donada per l'número complejo:

$S(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.$

Evaluant esta cantitat per a tots els valors de f s'obté la funció domini de la freqüència. Llavors s(t) pot representar-se com una recombinació d' exponencials complexes de totes les freqüències possibles:

$s(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}S(f)\cdot e^{i2\pi ft}df,$

que és la fòrmula de la transformació inversa. L'número complejo, S(f), transmet tant l'amplitut com la fase de la freqüència f.

Vore Transformació de Fourier para molta més informació, incloent:

• convencions per a la normalisació de l'amplitut i l'escalat de la freqüència/unitats.
• propietats de la transformada
• transformacions tabuladas de funcions específiques
• una extensió/generalisació per a funcions de múltiples dimensions, com les imàgens.

Séries de Fourier

Artícul principal → Séries de Fourier.

La transformada de Fourier d'una funció periòdica, s_P(t), en periodo P, es convertix en una funció pentine de Dirac, modulada per una seqüència de coeficients complexos:

$S[k]=\frac{1}{P}\underset{P}{\int }{s}_P(t)\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{P}t}dt,k\in \mathbb{Z},$    

a on ∫_P és l'integral sobre qualsevol interval de llongitut P.

La transformada inversa, coneguda com a série de Fourier, és una representació de s_P(t) en térmens d'una suma d'un número potencialment infinit de sinusoide o funcions exponencials complexes relacionades armónicament, cada una en una amplitut i una fase especificades per un dels coeficients:

$s_P(t)={ℱ}^{-1}\{\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}S[k]\delta (f-\frac{k}{P})\}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}S[k]\cdot e^{i2\pi \frac{k}{P}t}.$

Qualsevol s_P(t) pot expressar-se com una suma periòdica d'una atra funció, s(t):

$s_P(t)\triangleq \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s(t-mP),$

i els coeficients són proporcionals a les mostres de S(f) en intervals discrets de Plantilla:Sfrac:

$S[k]=\frac{1}{P}\cdot S\left(\frac{k}{P}\right)$.A

a on A = $\underset{P}{\int }(\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s(t-mP))\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{P}t}dt=\underset{\triangleq S\left(\frac{k}{P}\right)}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t)\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{P}t}dt}}$

Observe's que qualsevol s(t) que la seua transformada tinga els mateixos valors mostrals discrets pot utilisar-se en el sumatorio periòdic. Una condició suficient per a recuperar s(t) (i per lo tant S(f)) a partir de només estes mostres (és dir, de la série de Fourier) és que la porció no nula de s(t) estiga confinada a un interval conegut de duració P, que és el dual del domini de la freqüència del teorema de mostreig de Nyquist-Shannon.

Transformada de Fourier en temps discret

Artícul principal → Transformada de Fourier en temps discret.

La DTFT és el dual matemàtic de la série de Fourier en el domini del temps. Aixina, una suma periòdica convergent en el domini de la freqüència pot representar-se per mig d'una série de Fourier, els coeficients de la qual són mostres d'una funció temporal contínua relacionada:

$S_{\frac{1}{T}}(f)\triangleq \underset{\text{Fórmula de la suma de Poisson}}{\underbrace{\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}S(f-\frac{k}{T})\equiv \stackrel{\text{ Series de Fourier (DTFT)}}{\overbrace{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}}}}}=ℱ\{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s[n]\delta (t-nT)\},$

que es coneix com la DTFT. Aixina, la DTFT de la seqüència s[n] és també la transformada de Fourier de la funció pentine de Dirac modulada.

També es pot senyalar que:

$\begin{array}{cc}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}T\cdot s(nT)\delta (t-nT)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}T\cdot s(t)\delta (t-nT)\\ & =s(t)\cdot T\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-nT).\end{array}$

En conseqüència, una pràctica comuna és modelar el "mostreig" com una multiplicació per la funció pentine de Dirac, que per supost només és "possible" en un sentit purament matemàtic.

Els coeficients de la série de Fourier (i la transformada inversa), es definixen per:

$s[n]\triangleq T\underset{\frac{1}{T}}{\int }{S}_{\frac{1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df=T\underset{\triangleq s(nT)}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df}}.$

El paràmetro T correspon a l'interval de mostreig, i esta série de Fourier pot reconéixer-se ara com una forma de la fòrmula de suma de Poisson. Aixina tenim l'important resultat de que quan una seqüència de senyes discretes, s[n], és proporcional a les mostres d'una funció contínua subjacent, s(t), es pot observar un sumatorio periòdic de la transformada contínua de Fourier, S(f). Note's que qualsevol s(t) en els mateixos valors discrets de la mostra produïx la mateixa DTFT  Pero baix certes condicions idealizadas un pot recuperar teòricament S(f) i s(t) exactament. Una condició suficient per a la recuperació perfecta és que la porció no nula de S(f) estiga confinada a un interval de freqüència conegut d'ample {sfrac}}. Quan eixe interval és [−Plantilla:Sfrac, Plantilla:Sfrac], la fòrmula de reconstrucció aplicable és la Fòrmula d'Interpolació de Whittaker-Shannon. Esta és una pedra angular en els fonaments del processament digital de senyals.

Una atra raó per a estar interessat en S_1/T(f) és que a sovint proporciona una visió de la cantitat d'aliasing causat pel procés de mostreig.

Les aplicacions de la DTFT no es llimiten a les funcions muestreadas. Vore Transformada de Fourier en temps discret para més informació sobre est i atres temes, incloent:

• unitats de freqüència normalisades
• Finestra (seqüències de llongitut finita)
• propietats de la transformada
• transformacions tabuladas de funcions específiques

Transformada discreta de Fourier (DFT)

Artícul principal → Transformada discreta de Fourier.

De forma similar a una série de Fourier, la DTFT d'una seqüència periòdica, s_N[n], en periodo N, es convertix en una funció de pentine de Dirac, modulada per una seqüència de coeficients complexos:

$S[k]=\sum _n{s}_N[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{N}n},k\in \mathbb{Z},$     (a on Σ_n és la suma sobre qualsevol seqüència de llongitut N).

La seqüència S[k] és lo que es coneix habitualment com la DFT d'un cicle de s_N. També és N-periòdic, per lo que mai és necessari calcular més de N coeficients. La transformada inversa, també coneguda com série discreta de Fourier, ve donada per:

$s_N[n]=\frac{1}{N}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{N}k},$   a on Σ_k és la suma sobre qualsevol seqüència de llongitut N.

Quan s_N[n] s'expressa com una suma periòdica d'una atra funció:

$s_N[n]\triangleq \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s[n-mN],$   i   $s[n]\triangleq s(nT),$ Note's que esta definició diferix intencionalment de la secció DTFT per un factor de T. Açò facilita la taula de transformacions "$s(nT)$".

Alternativament, $s[n]$ pot definir-se com $T\cdot s(nT),$ en el cas del qual $S[k]=S_{\frac{1}{T}}\left(\frac{k}{P}\right)$

els coeficients són proporcionals a les mostres de S_1/T(f) a intervals disretos de Plantilla:Sfrac = Plantilla:Sfrac:

$S[k]=\frac{1}{T}\cdot S_{\frac{1}{T}}\left(\frac{k}{P}\right).$ $\sum _{n=0}^{N-1}(\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s([n-mN]T))\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{N}n}=\underset{\triangleq \frac{1}{T}{S}_{\frac{1}{T}}\left(\frac{k}{NT}\right)}{\underbrace{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s(nT)\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{N}n}}}$

Pel contrari, quan es vol calcular un número arbitrari (N) de mostres discretes d'un cicle d'una DTFT contínua, S_1/T(f) , es pot fer calculant la DFT relativament simple de S_1/N(f), com s'ha definit anteriorment. En la majoria dels casos, N s'elegix igual a la llongitut de la part distinta de zero de s[n]. L'aument de N, conegut com a farcidura en zeros o interpolació, dona com resultat mostres més pròximes entre sí d'un cicle de S_1/T(f). La disminució de N provoca superposició (adició) en el domini del temps (anàlec al aliasing), que correspon a l'aniquilació en el domini de la freqüència (vore Transformada de Fourier de temps discret § L=N×I). En la majoria dels casos d'interés pràctic, la seqüència s [ n ] representa una seqüència més llarga que es va truncar per mig de l'aplicació d'una funció de finestra de llongitut finita o una matriu de filtre FIR.

La DFT pot calcular-se per mig d'un algoritme de transformada ràpida de Fourier (FFT), lo que la convertix en una transformació pràctica i important en els ordenadors.

Vore Transformada discreta de Fourier para molta més informació, incloent:

• propietats de la transformada
• aplicacions
• transformacions tabuladas de funcions específiques

Resum

Per a funcions periòdiques, tant la transformada de Fourier com la DTFT comprenen solament un conjunt discret de components de freqüència (séries de Fourier), i les transformades divergixen en eixes freqüències. Una pràctica comuna (no discutida anteriorment) és manejar eixa divergència a través de les funcions delta de Dirac i pentine de Dirac. Pero la mateixa informació espectral pot discernir-se a partir d'un sol cicle de la funció periòdica, ya que tots els demés cicles són idèntics. De la mateixa manera, les funcions de duració finita poden representar-se com una série de Fourier, sense pèrdua real d'informació, llevat que la periodicitat de la transformada inversa és un mer artefacte.

És comú en la pràctica que la duració de s(*) estiga llimitada al periodo, P o N.  Pero estes fòrmules no requerixen eixa condició.

Transformada s(t) (temps continu)

	Freqüència contínua	Freqüència discreta
Transformada	$S(f)\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt$	$\stackrel{S[k]}{\overbrace{\frac{1}{P}\cdot S\left(\frac{k}{P}\right)}}\triangleq \frac{1}{P}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}s(t)\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{P}t}dt\equiv \frac{1}{P}\underset{P}{\int }{s}_P(t)\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{P}t}dt$
Inversa	$s(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}S(f)\cdot e^{i2\pi ft}df$	$\underset{\text{Poisson summation formula (Fourier series)}}{\underbrace{s_P(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}S[k]\cdot e^{i2\pi \frac{k}{P}t}}}$

Transformada s(nT) (temps discret)

	Freqüència contínua	Freqüència discreta
Transformada	$\underset{\text{Poisson summation formula (DTFT)}}{\underbrace{\frac{1}{T}{S}_{\frac{1}{T}}(f)\triangleq \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s(nT)\cdot e^{-i2\pi fnT}}}$	$\begin{array}{cc}\stackrel{S[k]}{\overbrace{\frac{1}{T}{S}_{\frac{1}{T}}\left(\frac{k}{NT}\right)}}& \triangleq \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s(nT)\cdot e^{-i2\pi \frac{kn}{N}}\\ & \equiv \underset{\text{DFT}}{\underbrace{\sum _n{s}_P(nT)\cdot e^{-i2\pi \frac{kn}{N}}}}\end{array}$
Inversa	$s(nT)=T\underset{\frac{1}{T}}{\int }\frac{1}{T}{S}_{\frac{1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df$ $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}s(nT)\cdot \delta (t-nT)=\underset{\text{inverse Fourier transform}}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{T}{S}_{\frac{1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df}}$	$\begin{array}{cc}{s}_P(nT)& =\stackrel{\text{inverse DFT}}{\overbrace{\frac{1}{N}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi \frac{kn}{N}}}}\\ & =\frac{1}{P}\sum _k{S}_{\frac{1}{T}}\left(\frac{k}{P}\right)\cdot e^{i2\pi \frac{kn}{N}}\end{array}$

Propietats de simetria

Quan les parts real i imaginària d'una funció complexa es descomponen en les seues partixes parells i impar, hi ha quatre components, denotades a continuació pels subíndexs RE, RO, IE i IO. I existix un mapage un a un entre els quatre components d'una funció temporal complexa i els quatre components de la seua transformada de freqüència complexa:

$\begin{array}{cccccccccc}\text{Dominio temporal}& s& =& s_{{}_{\text{RE}}}& +& s_{{}_{\text{RO}}}& +& i{s}_{{}_{\text{IE}}}& +& \underbrace{i{s}_{{}_{\text{IO}}}}\\ & \Updownarrow ℱ& & \Updownarrow ℱ& & \Updownarrow ℱ& & \Updownarrow ℱ& & \Updownarrow ℱ\\ \text{Dominio de frecuencia}& S& =& S_{\text{RE}}& +& \overbrace{i{S}_{\text{IO}}}& +& i{S}_{\text{IE}}& +& S_{\text{RO}}\end{array}$

D'això es desprenen vàries relacions, per eixemple: La transformada d'una funció de valor real s_RE + s_RO és la funció S_RE + i S _IO. A l'inversa, una transformació parell-simètrica implica un domini de temps de valor real. La transformada d'una funció de valor imaginari i s_IE + i s_IO és la funció S_RO + i S _IE, i lo contrari és cert. La transformada d'una funció parell-simètrica s_RE + i s_IO és la funció de valor real S_RE + S_RO, i l'inversa és certa. La transformada d'una funció impar-simètrica S_RO + i s_IE és la funció de valor imaginari i s_IE + i S _IO, i l'inversa és certa.

Història

Una forma primerenca de séries harmòniques es remonta a les antigues matemàtiques babilòniques, a on s'utilisaven per a calcular les efemérides (taules de posicions astronòmiques). Els conceptes grecs clàssics de deferente i epiciclo en el sistema ptolemaico d'astronomia estaven relacionats en les séries de Fourier.

En temps moderns, variants de la transformada discreta de Fourier varen ser utilisades per Alexis Clairaut en 1754 per a calcular una òrbita, que s'ha descrit com la primera fòrmula de la DFT, i en 1759 per Joseph Louis Lagrange, en calcular els coeficients d'una série trigonométrica per a una corda vibrant. Tècnicament, el treball de Clairaut era una série només de coseno (una forma de Transformada de coseno discreta), mentres que el treball de Lagrange era una série només de sen (una forma de transformada discreta del sen); una verdadera DFT de coseno+sen va ser utilisada per Gauss en 1805 per a l'interpolació trigonométrica de les òrbites d'asteroides. Tant Euler com Lagrange discretizaron el problema de la corda vibrant, utilisant lo que hui es cridaria mostres.

Un desenroll modern primerenc cap a l'anàlisis de Fourier va ser l'artícul de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique dones équations de Lagrange, que en el método de resolvents de Lagrange va utilisar una descomposició complexa de Fourier per a estudiar la solució d'una cúbica: Lagrange va transformar les raïls x₁, x₂, x₃ en els resolvents:

$\begin{array}{cc}{r}_1& =x_1+x_2+x_3\\ r_2& =x_1+\zeta x_2+{\zeta }^2{x}_3\\ r_3& =x_1+{\zeta }^2{x}_2+\zeta x_3\end{array}$

a on ζ és una raïl de l'unitat cúbica, que és la DFT d'orde 3.

Varis autors, especialment Jean li Rond d'Alembert, i Carl Friedrich Gauss varen utilisar séries trigonométricas per a estudiar l'equació de la calor, pero l'alvanç decisiu va ser l'artícul de 1807 Memòria sobre la propagació de la calor en els cossos sòlits de Joseph Fourier, l'idea crucial dels quals va ser modelar totes les funcions per mig de séries trigonométricas, introduint la série de Fourier.

Els historiadors estan dividits sobre el crèdit que cal donar a Lagrange i a uns atres pel desenroll de la teoria de Fourier: Daniel Bernoulli i Leonhard Euler havien introduït representacions trigonométriques de les funcions, i Lagrange havia donat la solució en série de Fourier a l'equació d'ona, per lo que la contribució de Fourier va ser principalment l'audaç afirmació de que una funció arbitrària podia representar-se per mig d'una série de Fourier.

El desenroll posterior del camp es coneix com anàlisis harmònic, i és també una instància primerenca de la teoria de la representació.

El primer algoritme de la transformada ràpida de Fourier (FFT) per a la DFT va ser descobert al voltant de 1805 per Carl Friedrich Gauss al interpolar les medicions de l'òrbita dels asteroides Juno i Pallas, encara que eixe algoritme de FFT en particular s'atribuïx més a sovint als seus redescubridores moderns Cooley i Tukey.

Transformacions de temps-freqüència

En térmens de processament de senyals, una funció (de temps) és una representació d'una senyal en perfecta resolució de temps, pero sense informació de freqüència, mentres que la transformada de Fourier té perfecta resolució de freqüència, pero sense informació de temps.

Com a alternatives a la transformada de Fourier, en l'anàlisis temps-freqüència, s'utilisen les transformades de temps-freqüència per a representar les senyals en una forma que té una miqueta d'informació de temps i una miqueta d'informació de freqüència - pel principi d'incertitut, hi ha un compromís entre estos. Poden ser generalisacions de la transformada de Fourier, com la Transformada de Fourier de Temps Reduït, la transformada de Gabor o la transformada de Fourier fraccional (FRFT), o poden utilisar diferents funcions per a representar les senyals, com en les transformada ondícula i les transformades chirplet, sent l'anàlec wavelet de la transformada de Fourier (contínua) l' ondícula ontínua.

Bibliografia

• Howell, Kenneth B.. Principles of Fourier Analysis, CRC Press. ISBN 978-0-8493-8275-8.
• Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and Matlab, 2 edició, Prentiss-Hall. ISBN 978-0-13-017293-8.
• Müller, Meinard (2015). The Fourier Transform in a Nutshell, Springer. doi:10.1007/978-3-319-21945-5. ISBN 978-3-319-21944-8.
• (1998) Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3.
• Smith, Steven W. (1999). The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, Second edició, San Diego: Califòrnia Technical Publishing. ISBN 978-0-9660176-3-2.
• (1971) Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9.

Enllaços externs

• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• An Intuitive Explanation of Fourier Theory by Steven Lehar.
• Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Fourier Transform. Lectures 7–15 make use of it., by Alan Peters
• «Σ Summation (and Fourier Analysis)». Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham (2009).