Transformada de coseno discreta

Archiu:DCT-4x4.png

Transformada de coseno discreta

La transformada de coseno discreta (DCT de l'anglés Discrete Cosine Transform) és una transformada basada en la Transformada de Fourier discreta, pero utilisant únicament número real.Va ser publicada pel Professor Ingenier Nasir Ahmed i colaboradors en 1974

Introducció

La transformada de coseno discreta expressa una seqüència finita de varis punts com a resultat de la suma de distintes senyals sinusoidals (en distintes freqüències i amplitut). Com la transformada discreta de Fourier (abreviada, DFT) la DCT treballa en una série de números finitos, pero mentres la DCT solament treballa en cosenos la DFT ho fa en exponencials complexos.

Archiu:Dandelion clock quarter dft dct.png

Concentració d'energia d'una DCT-II bidimensional comparada en una DFT.

Formalment, la transformada de coseno discreta és una funció llineal i invertible del domini real ${ℝ}^N$ al domini real ${ℝ}^N$, que també es pot entendre de forma equivalent a una matriu de $N\times N$ posicions.

També existix la DCT multidimensional, que es pot considerar com la multiplicació separable de vàries DCT. Per eixemple la DCT de dos dimensions és una transformada normal calculada per cada fila i columna.

Característiques útils per a la compressió d'imàgens

• La DCT té una bona capacitat d'compactación de l'energia al domini transformat, és dir, que la transformada de coseno discreta conseguix concentrar la major part de l'informació en pocs coeficients transformats tal i com mostra l'image.
• La transformació és independent de les senyes. l'algoritme aplicat no varia en les senyes que rep, com sí succeïx en atres algoritmes de compressió.
• Hi ha fòrmules per al càlcul ràpit de l'algoritme, com podria ser la FFT per a la DFT.
• Produïx pocs errors en els llímits dels blocs image. La minimisació dels errors als blocs image permet reduir l'efecte de bloc en les imàgens reconstruïdes.
• Té una interpretació frecuencial dels components transformats. La capacitat d'interpretar els coeficients en el punt de vista frecuencial permet aprofitar al màxim la capacitat de compressió.

Definició formal

La transformada de coseno discreta $F(k)$ d'una funció discreta $f(j):{ℝ}^N\to {ℝ}^N$, (a on $ℝ$ denota el conjunt dels número real) en la qual $j=0,1,2,\cdots ,N-1$ es definix com:

$F(k)=\frac{\sqrt{2}c(k)}{\sqrt{N}}\sum _{j=0}^{N-1}f(j)\cos \left[\frac{(2j+1)k\pi }{2N}\right]$

a on $c(k)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ per a $k=0$ i $c(k)=1$ per a atres número entero fins a N-1.

Atres definicions, en les quals $F(k)=X_k$ i $f(j)=x_j$ són les següents:

DCT-I

$X_k=\frac{1}{2}(x_0+(-1{)}^k{x}_{N-1})+\sum _{j=1}^{N-2}{x}_j\cos \left[\frac{\pi }{N-1}jk\right]k=0,\dots ,N-1.$

DCT-II

$X_k=\sum _{j=0}^{N-1}{x}_j\cos \left[\frac{\pi }{N}(j+\frac{1}{2})k\right]k=0,\dots ,N-1.$

Esta és la forma més típicament utilisada.

DCT-III

$X_k=\frac{1}{2}{x}_0+\sum _{j=1}^{N-1}{x}_j\cos \left[\frac{\pi }{N}(k+\frac{1}{2})j\right]k=0,\dots ,N-1.$

DCT-IV

$X_k=\sum _{j=0}^{N-1}{x}_j\cos \left[\frac{\pi }{N}(j+\frac{1}{2})(k+\frac{1}{2})\right]k=0,\dots ,N-1.$

DCT-V - VIII

També existixen les DCT de la V a la VIII.

Les variants més usades d'estes equacions són la DCT-I i la DCT-II. La DCT-III es coneix popularment com la IDCT (transformada inversa). Cada una d'estes possibles variacions és deguda a la periodicitat i el tipo de simetria aplicada a les mostres originals.

Referències

N Ahmed, T Natarajan, KR Rao - Discrete Cosine Transform.IEEE transactions on Computers, 1974.23:90-93.