Equació integral

En matemàtiques, una equació integral és aquella equació en la que una funció desconeguda apareix en l'integrant.

Existix una conexió estreta entre les equacions integrals i les equacions diferencials, de fet, hi ha alguns problemes que poden formular-se com a equació diferencial o com a equació integral. Vore per eixemple: equacions de Maxwell o funció de Green.

Introducció

L'equació integral més bàsica és la equació de Fredholm de primer tipo (o primera classe) donada per:

$f(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

a on:

$\phi$ és una funció desconeguda,

$f$ és una funció coneguda i

$K$ és una funció de dos variables anomenada funció Kernel.

Note's que els llímits d'integració són constants, açò precisament és lo que caracterisa a una equació de Fredholm.

Si la funció desconeguda, en ocasions anomenada funció incògnita, apareix també fòra de l'integral, llavors es té la equació de Fredholm de segon tipo

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

El paràmetro $\lambda$ és un número desconegut que eixercita el mateix paper que el d'un autovalor en àlgebra llineal.

Si un dels llímits d'integració és variable llavors l'equació és anomenada equació de Volterra, les següents dos equacions són conegudes com a equacions de Volterra de primer i segon tipo respectivament:

$\begin{array}{cc}f(x)& =\underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt\\ \phi (x)& =f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.\end{array}$

En tot lo anterior, si la funció $f$ és idénticamente nula, l'equació integral es diu equació integral homogénea. Si $f\ne 0$, llavors es tracta d'una equació integral no homogénea.

Classificació

Les equacions integrals es classifiquen segons tres criteris dicotòmics que combinats donen huit tipos d'equacions diferents:

• Llímits d'integració:
  • Abdós fixos: Equació integral de Fredholm
  • Un d'ells variable: Equació integral de Volterra
• Lloc a on apareix la funció incógita:
  • Únicament dins de l'integral: equació integral de primera classe
  • Tant dins de l'integral com fora: equació integral de segona classe
• Homogeneïtat, segons $f$ siga o no nula:
  • Si $f$ és idénticamente zero: equació integral homogénea.
  • Si $f$ no és nula: equació integral no homogénea.

Les equacions integrals són importants en moltes aplicacions. Els problemes en els que apareixen les equacions integrals inclouen els problemes de transferència d'energia per radiació, el problema de vibracions d'una corda o una membrana, els problemes de viscoelasticidad i alguns problemes de camps electromagnètics. Alguns d'estos atres problemes també poden plantejar-se en térmens d'equacions diferencials.

Tant les equacions de Fredholm com les de Volterra, són eixemples d'equacions integrals llineals, per la linealidad de l'integral respecte a la funció incògnita $\phi (x)$ situada baix l'integral. Un eixemple d'equació llineal de Volterra no llineal tindria la forma general:

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)F(x,t,\phi (t))dt.$

a on $F$ és una funció coneguda.

Vore també

• Operador de Hilbert-Schmidt

Referències

Bibliografia

• George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Rata, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis Cambridge Mathematical Library.
• M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971