Espai de Hilbert equipat

En matemàtiques, un espai de Hilbert equipat (EHE) és una generalisació dels espais de Hilbert que permet lligar la teoria de distribucions i els aspectes quadrat-integrables del anàlisis funcional. Tals espais varen ser introduïts per a estudiar la teoria espectral en sentit ampli i tenen àmplia aplicació en mecànica quàntica.

Motivació

Una funció com

que és clarament un vector propi del operador diferencial (que en mecànica quàntica s'usa com a operador cantitat de moviment):

en la recta real $ℝ$, no és de quadrat integrable per a la mida de Borel usual en $ℝ$. Clarament la funció exponencial complexa pertany a l'espai vectorial complex ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$ (que no és un espai de Hilbert) pero no pertany a l'espai de Hilbert $L^2(ℝ)$ (associat a la mida de Lebesgue-Borel).

Per a poder definir propietats d'ortogonalidad a la funció exponencial complexa de l'eixemple anterior, es requerix un marc que excedixca els llímits estrictes de la teoria del espai de Hilbert. Açò va ser proveït per l'aparat de distribucions de Schwartz, i la teoria generalisada de la funció pròpia va ser desenrollada en els anys 1950.

Introducció

El concepte de l'espai equipat de Hilbert posa esta idea en marc funcional-analític abstracte. Formalment, un espai equipat de Hilbert consistix en l'espai de Hilbert H, junt en un subespacio Φ que du una topología més fina, per a la qual l'inclusió natural o injecció canònica:

és contínua. Es pot assumir que eixe Φ és dens en H per a la norma de Hilbert. Considerem l'inclusió del espai dual H^* en Φ^*. L'últim, dual a el Φ en la seua topología de la funció de prova, es realisa com un espai de distribucions o de funcions generalisades d'una certa classe, i els funcionals llineals en el subespacio Φ del tipo:

per a v en H es representen fidelment com a distribucions (perque assumim Φ dens). Ara aplicant el teorema de representació de Riesz podem identificar H^* en H. Per lo tant la definició del espai equipat de Hilbert és en térmens d'un sándwich

Bibliografia

• J.-P. Antoine, Quàntum Mechanics Beyond Hilbert Space (1996), appearing in Irreversibility and Causality, Semigroups and Rigged Hilbert Spaces, Arno Bohm, Heinz-Dietrich Doebner, Piotr Kielanowski, eds., Springer-Verlag, ISBN 3-540-64305-2. (Provides a survey overview.)
• Jean Dieudonné, Éléments d'analyse VII (1978). (See paragraphs 23.8 and 23.32)
• I. M. Gélfand and N. J. Vilenkin. Generalized Functions, vol. 4: Some Applications of Harmonic Analysis. Rigged Hilbert Spaces. Academic Press, New York, 1964.
• R. de la Madrit, "The role of the rigged Hilbert space in Quàntum Mechanics," Eur. J. Phys. 26, 287 (2005); quant-ph/0502053.
• K. Maurin, Generalized Eigenfunction Expansions and Unitary Representations of Topological Groups, Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1968.
• Minlos, R.A. (2001), "Rigged_Hilbert_space", en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4