Funció de quadrat integrable

En anàlisis matemàtic, una funció $f(x)$ d'una variable real en valors reals o complexos es diu de quadrat sumable o també de quadrat integrable sobre un determinat interval, si l'integral del quadrat del seu mòdul, definida en l'interval de definició, convergix.

Este concepte s'estén a les funcions definides sobre un espai de mida que té valors en un espai vectorial de dimensió finita.

Propietats

El conjunt de totes les funcions mesurables de quadrat integrable sobre un domini donat formen un espai de Hilbert sumable, també cridat espai L².

Aplicacions

La condició de quadrat sumable és particularment útil en mecànica quàntica ya que constituïx la base per a les funcions que descriuen el comportament dels sistemes físics, conseqüència de l'interpretació provabilística de la mecànica quàntica. Per eixemple, per a determinar el comportament en l'espai d'una partícula (sense espin) s'utilisa la funció d'ona $\psi (x,y,z)$ per a la qual deu existir i tindre un valor fínito una integral de la forma:

Esta noció es generalisa a les funciones p-mesurables per a un número p real positiu, sent les de quadrat sumable les que corresponen en el cas particular p=2.