Ràdio espectral

En matemàtiques, el radi espectral d'una matriu o d'un operador llineal acotat és el suprem d'entre els valors absoluts dels elements del seu espectre, indicant-se en ocasions en ρ(·).

Matrius

Si λ₁, ..., λ_s són els valors propis (reals o complexos) d'una matriu A ∈ C^{n × n}, llavors la seua ràdio espectral ρ(A) es definix com:

$\rho (A):=\underset{i}{\max }(|{\lambda }_i|)$

El següent lema mostra una mayorante senzilla fins ara útil per al radi espectral d'una matriu:

Lema

Demostració

Si (v, λ) és un parell compost d'un vector propi i un valor propi per a una matriu A, per la propietat sub-multiplicativa de la norma matricial, s'obté:

$|\lambda {|}^k\Vert 𝐯\Vert =\Vert {\lambda }^k𝐯\Vert =\Vert A^k𝐯\Vert \le \Vert A^k\Vert \cdot \Vert 𝐯\Vert$

i com a v ≠ 0 per cada λ es té:

$|\lambda {|}^k\le \Vert A^k\Vert$

per lo que:

$\rho (A)\le \Vert A^k{\Vert }^{1/k}$

El radi espectral està estretament relacionat en el comportament de la convergència de la successió de potències d'una matriu, com a mostra la següent teorema:

Teorema

Demostració

($\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}^k=0\Rightarrow \rho (A)<1$)

Si (v, λ) és un parell compost d'un vector propi i un valor propi per a una matriu A, ya que:

$A^k𝐯={\lambda }^k𝐯,$

es té:

$0$	$=(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}^k)𝐯$
	$=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}^k𝐯$
	$=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }^k𝐯$
	$=𝐯\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }^k$

I, ya que a través d'una hipòtesis v ≠ 0, es deu tindre:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }^k=0$

lo que implica que |λ| < 1. ya que açò deu valdre per a qualsevol autovalor λ, es pot concloure que ρ(A) < 1.

($\rho (A)<1\Rightarrow \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}^k=0$)

Gràcies a la Teorema de la forma canònica de Jordan, se sap que per a qualsevol matriu de valors complexos A ∈ C^{n × n}, qualsevol matriu no singular V ∈ C^{n × n} i qualsevol matriu diagonal a blocs J ∈ C^{n × n} existixen aixina:

$A=VJ{V}^{-1}$

en:

$J=\left[\begin{array}{ccccc}{J}_{m_1}({\lambda }_1)& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& J_{m_2}({\lambda }_2)& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & \ddots & \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& J_{m_{s-1}}({\lambda }_{s-1})& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& J_{m_s}({\lambda }_s)\end{array}\right]$

a on:

$J_{m_i}({\lambda }_i)=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_i& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_i& 1\\ 0& 0& \cdots & 0& {\lambda }_i\end{array}\right]\in {ℂ}^{m_i,m_i},1\le i\le s.$

Es veu fàcilment que:

$A^k=V{J}^k{V}^{-1}$

i, ya que J és la diagonal a blocs:

$J^k=\left[\begin{array}{ccccc}{J}_{m_1}^k({\lambda }_1)& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& J_{m_2}^k({\lambda }_2)& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & \ddots & \cdots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& J_{m_{s-1}}^k({\lambda }_{s-1})& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& J_{m_s}^k({\lambda }_s)\end{array}\right]$

Ara, un resultat normal en la potencia k d'un bloc Jordan m_i × m_i, per a k ≥ m_{i − 1}, establix lo següent:

$J_{m_i}^k({\lambda }_i)=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i^k& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}){\lambda }_i^{k-1}& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}){\lambda }_i^{k-2}& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m_i-1}){\lambda }_i^{k-m_i+1}\\ 0& {\lambda }_i^k& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}){\lambda }_i^{k-1}& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m_i-2}){\lambda }_i^{k-m_i+2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_i^k& (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}){\lambda }_i^{k-1}\\ 0& 0& \cdots & 0& {\lambda }_i^k\end{array}\right]$

Per tant, si ρ(A) < 1, llavors |λ_i| < 1 ∀ i, per lo que:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{J}_{m_i}^k=0\mathrm{\forall }i$

lo que implica que:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{J}^k=0.$

En conseqüència:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}^k=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }V{J}^k{V}^{-1}=V(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{J}^k)V^{-1}=0$

Per un atre costat, si ρ(A)>1, hi ha a lo manco un element en J que no permaneix inalterable en aumentar k, demostrant aixina la segona part de la teoria.

$◻$

Teorema (La fòrmula de Gelfand, 1941)

Para tota norma matricial ||·||, es té:

$\rho (A)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }||A^k|{|}^{1/k}.$

És dir, la fòrmula de Gelfand mostra cóm el radi espectral de A és la causa del ritme de creiximent asintòtic de la norma de A^k:

$\Vert A^k\Vert \sim \rho (A{)}^k$ per a $k\to \mathrm{\infty }.$

Demostració: Si tot ε > 0, en considerar la matriu:

$\tilde{A}=(\rho (A)+ϵ{)}^{-1}A.$

Llavors, llògicament:

$\rho (\tilde{A})=\frac{\rho (A)}{\rho (A)+ϵ}<1$

i, d'acort en la teorema anterior:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\tilde{A}}^k=0.$

Lo que revela, a través de la definició del llímit de seqüència, que un número natural N₁ ∈ N existix aixina:

$\mathrm{\forall }k\ge N_1\Rightarrow \Vert {\tilde{A}}^k\Vert <1$

lo que en cada cas significa que:

$\mathrm{\forall }k\ge N_1\Rightarrow \Vert A^k\Vert <(\rho (A)+ϵ{)}^k$

o que:

$\mathrm{\forall }k\ge N_1\Rightarrow \Vert A^k{\Vert }^{1/k}<(\rho (A)+ϵ).$

En considerar ara la matriu:

$\check{A}=(\rho (A)-ϵ{)}^{-1}A.$

llavors, llògicament:

$\rho (\check{A})=\frac{\rho (A)}{\rho (A)-ϵ}>1$

aixina, d'acort en la teorema anterior, $\Vert {\check{A}}^k\Vert$ permaneix inalterable.

Açò resol que un número natural N₂ ∈ N existix aixina:

$\mathrm{\forall }k\ge N_2\Rightarrow \Vert {\check{A}}^k\Vert >1$

lo que en cada cas significa que:

$\mathrm{\forall }k\ge N_2\Rightarrow \Vert A^k\Vert >(\rho (A)-ϵ{)}^k$

o que:

$\mathrm{\forall }k\ge N_2\Rightarrow \Vert A^k{\Vert }^{1/k}>(\rho (A)-ϵ).$

Prenent:

$N:=max(N_1,N_2)$

i insertant-ho en lo anterior, es conseguix:

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }k\ge N\Rightarrow \rho (A)-ϵ<\Vert A^k{\Vert }^{1/k}<\rho (A)+ϵ$

lo que per definició és:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert A^k{\Vert }^{1/k}=\rho (A).◻$

La fòrmula de Gelfand conduïx directament a un llímit del radi espectral d'un producte de moltes matrius finitas; suponent que totes elles es commutaren, s'obtindria: $\rho (A_1{A}_2\dots A_n)\le \rho (A_1)\rho (A_2)\dots \rho (A_n).$

En realitat, en el cas en que la norma fora constant, la demostració serviria més que la tesis; de fet, en amprar el lema anterior, es pot reemplaçar la minorante en la definició de llímit pel radi espectral mateix, quedant de forma:

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }k\ge N\Rightarrow \rho (A)\le \Vert A^k{\Vert }^{1/k}<\rho (A)+ϵ$

lo que per definició és:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert A^k{\Vert }^{1/k}=\rho (A{)}^{+}.$

Eixemple: En considerar la matriu:

$A=\left[\begin{array}{ccc}9& -1& 2\\ -2& 8& 4\\ 1& 1& 8\end{array}\right]$

els valors propis del qual són 5, 10, 10; d'acort en la definició, la seua ràdio espectral és ρ(A)=10. En la següent taula apareixen els valors de $\Vert A^k{\Vert }^{1/k}$ en les quatre normes més amprades per a alguns valors en aument de k (tindre-ho en conte, per la forma particular d'esta matriu, $\Vert .{\Vert }_1=\Vert .{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$):

k	$\Vert .{\Vert }_1=\Vert .{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$\Vert .{\Vert }_F$	$\Vert .{\Vert }_2$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232