Norma matricial

En matemàtiques, una norma matricial és una extensió de la noció natural de norma vectorial a les matrius.

Definició

En avant, $K$ denotarà el cos dels números reals o complexos i $K^{m\times n}$ denotarà l'espai vectorial que contenen totes les matrius en $m$ files i $n$ columnes en entrades en $K$.

Una norma matricial és una norma vectorial en $K^{m\times n}$, o siga, si $\Vert A\Vert$ denota la norma de la matriu $A$, llavors,

• $\Vert A\Vert >0$ si $A\ne O$ i $\Vert A\Vert =0$ si i solament si $A=O$
• $\Vert \alpha A\Vert =|\alpha |\Vert A\Vert$ para tot $\alpha$ en $K$ i totes les matrius $A$ en $K^{m\times n}$
• $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$ per a totes les matrius $A$ i $B$ en $K^{m\times n}.$

Adicionalment, en el cas de matrius quadrades (o siga, m = n), algunes (pero no totes) normes matriciales satisfan la següent condició, la qual es relacióna en el fet de que les matrius són més que simples vectores:

• $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$ per a totes les matrius $A$ i $B$ en $K^{n\times n}.$

Una norma matricial que satisfà esta propietat adicional és cridada norma sub-multiplicativa (en alguns llibres, la terminologia norma matricial s'usa solament per a normes que són sub-multiplicativas). El conjunt de totes les matrius n-per-n, sent normes sub-multiplicativas, és un eixemple d'un àlgebra de Banach.

Norma induïda

Si es tenen norma vectorialés en K^m i Kⁿ es poden definir la norma induïda corresponent o el operador norma en l'espai de matrius $m\times n$ de la següent manera:

$\begin{array}{cc}\Vert A\Vert & =\sup \{\Vert Ax\Vert :x\in K^n\text{ con }\Vert x\Vert =1\}\\ & =\sup \{\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }:x\in K^n\text{ con }x\ne 0\}.\end{array}$

A on sup denota l'element suprem i ínfim. Hi ha diferents normes que es denoten p-normes i usualment es denoten per ${\Vert A\Vert }_p.$.

Si m = n i un usa la mateixa norma en el domini i el ranc, llavors l'operador norma induït és una norma matricial sub-multiplicativa.

L'operador norma corresponent a la norma p per a vectores és:

${\Vert A\Vert }_p=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\ne 0}\frac{{\Vert Ax\Vert }_p}{{\Vert x\Vert }_p}.$

En el cas de $p=1$ i $p=\mathrm{\infty }$, les normes es poden calcular com:

${\Vert A\Vert }_1=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^m|a_{ij}|,$ que és simplement la màxima suma absoluta de les columnes de la matriu.

Demostració:

Siga

$\alpha =\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$

.

Tenim que $\mathrm{\forall }x\in K^n\Vert Ax{\Vert }_1=\sum _{i=1}^m\left|\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right|\le \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}||x_j|=\sum _{j=1}^n(|x_j|\sum _{i=m}^n|a_{ij}|)\le \sum _{j=1}^n|x_j|\alpha =\alpha \sum _{j=1}^n|x_j|=\alpha \Vert x{\Vert }_1\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{\Vert Ax{\Vert }_1}{\Vert x{\Vert }_1}\le \alpha \mathrm{\forall }x\in K^n\setminus \{0\}\Rightarrow \Vert A{\Vert }_1\le \alpha$

Per un atre costat, prenent $z=e_k$ el $k$-ésimo vector de la base canònica de $K^n$, en $k=\arg \max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$, tenim que

$\frac{\Vert Az{\Vert }_1}{\Vert z{\Vert }_1}=\frac{\sum _{j=1}^n|a_{ki}|}{1}\stackrel{\text{def }k}{=}\alpha \stackrel{\text{def. norma inducida}}{\Rightarrow }\Vert A{\Vert }_1\ge \alpha$

Per tot açò,

$\Vert A{\Vert }_1=\alpha =\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$

${\Vert A\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|,$ que és simplement la màxima suma absoluta de les files de la matriu.

Demostració:

Siga

$\beta =\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|.$

Tenim que

$\mathrm{\forall }x\in K^n\Vert Ax{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\left|\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right|\le \max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\left|\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\right|\le \max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|=\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\beta \Rightarrow$$\Rightarrow \frac{\Vert Ax{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}{\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}\le \beta \mathrm{\forall }x\in K^n\setminus \{0\}\Rightarrow \Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \beta$

Per un atre costat, si definim

$k=\arg \max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$

i definim

$z=\left(\begin{array}{c}\mathrm{sgn}(a_{k1})\\ ⋮\\ \mathrm{sgn}(a_{kn})\end{array}\right)$

, tenim que

$\Vert z{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$

i

$Az=\left(\begin{array}{c}\sum _{j=1}^n\mathrm{sgn}(a_{kj})a_{1j}\\ ⋮\\ \sum _{j=1}^n\mathrm{sgn}(a_{kj})a_{nj}\end{array}\right)$

, per lo que

$(Az{)}_i=\sum _{j=1}^m\mathrm{sgn}(a_{kj})a_{ij}\le \sum _{j=1}^m\mathrm{sgn}(a_{kj})a_{ij}=\sum _{j=1}^m|a_{ij}|\stackrel{\text{def }\beta }{\le }\beta =\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|\stackrel{\text{def }k}{=}\sum _{j=1}^m|a_{kj}|=\sum _{j=1}^m\mathrm{sgn}(a_{kj})a_{kj}=(Az{)}_k$

i

$(Az{)}_i=\sum _{j=1}^m\mathrm{sgn}(a_{kj})a_{ij}\ge \sum _{j=1}^m-\mathrm{sgn}(a_{ij})a_{ij}=-\sum _{j=1}^m|a_{ij}|\ge -\sum _{j=1}^m|a_{kj}|=-(Az{)}_k$

. Aixina,

$|(Az{)}_i|\le |(Az{)}_k|\mathrm{\forall }i$

i, per tant,

$\frac{\Vert Az{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}{\Vert z{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}|(Az{)}_i|=(Az{)}_k=\beta \Rightarrow \Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\ge \beta$

. Per tot açò,

$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\beta =\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|◻$

Per eixemple, si la matriu A es definix com

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 5& 7\\ 2& 6& 4\\ 0& 2& 8\end{array}\right],$

es té ||A||₁ = Max (5, 13, 19) = 19. i ||A||_∞ = Max (15, 12, 10) = 15

En el cas especial de p = 2 (la norma euclídea) i m = n (matrius quadrades), la norma induïda és la norma espectral. La norma espectral d'una matriu A és el valor singular més gran de A o la raïl quadrada del valor propi més gran de la matriu semidefinida-positiva A^*A:

${\Vert A\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{\text{max}}(A^{{}^{*}}A)}={\sigma }_{\text{max}}(A)$

a on A^* denota la trasponer conjugada de A.

En el cas més general, un pot definir una norma matricial subordinada en ${ℝ}^{m\times n}$ induïda per $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha }$ en ${ℝ}^n$, i $\Vert \cdot {\Vert }_{\beta }$ en ${ℝ}^m$ com:

${\Vert A\Vert }_{\alpha ,\beta }=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\ne 0}\frac{{\Vert Ax\Vert }_{\beta }}{{\Vert x\Vert }_{\alpha }}.$

Les normes subordinades són consistents en les normes que les induïxen, donant

$\Vert Ax{\Vert }_{\beta }\le \Vert A{\Vert }_{\alpha ,\beta }\Vert x{\Vert }_{\alpha }.$

Demostració:

Si

$x\ne 0$

, tenim que

$\Vert Ax{\Vert }_{\beta }\le \Vert A{\Vert }_{\alpha ,\beta }\Vert x{\Vert }_{\alpha }\iff \Vert A{\Vert }_{\alpha ,\beta }\ge \frac{\Vert Ax{\Vert }_{\beta }}{\Vert x{\Vert }_{\alpha }}$

, la qual cosa és sempre cert puix, per definició,

${\Vert A\Vert }_{\alpha ,\beta }=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\ne 0}\frac{{\Vert Ax\Vert }_{\beta }}{{\Vert x\Vert }_{\alpha }}.$

Si

$x=0$

,

$\Vert Ax{\Vert }_{\beta }=0$

i

$\Vert x{\Vert }_{\alpha }=0$

, per lo que la desigualtat és trivialmente certa.

$◻$

Qualsevol norma induïda satisfà la desigualtat

$\Vert A\Vert \ge \rho (A),$

a on ρ(A) és el ràdio espectral de A. De fet, es ρ(A) és l'ínfim de totes les normes induïdes de A.

Ademés, per a matrius quadrades es té la fòrmula del radi espectral:

$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert A^r{\Vert }^{1/r}=\rho (A).$

Referències

1. Golub, Gene; Charles F. Van Lloen (1996). Matrix Computations - Third Edition. Baltimore: The Johns Hopkins University Press, 56-57. ISBN 0-8018-5413-X.
2. Roger Horn and Charles Johnson. Matrix Analysis, Chapter 5, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.
3. Douglas W. Harder, Matrix Norms and Condition Numbers [1]
4. James W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, section 1.7, published by SIAM, 1997.
5. Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, published by SIAM, 2000. [2]
6. John Watrous, Theory of Quàntum Information, 2.4 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2008.