Element suprem i ínfim

Un conjunt A de número real (representats per círculs blaus), un conjunt de cotes superiors de A (círculs rojos), i el mínim de les cotes superiors, el suprem de A (diamant roig).

En matemàtiques, donat un subconjunt $S$ d'un conjunt parcialment ordenat $(P,\le )$, el suprem de $S$, si existix, és el mínim element de $P$ que és major o igual a cada element de $S$. En atres paraules, és la mínima de les cotes superiors de $S$. El suprem d'un conjunt $S$ comunament es denota com $\sup S$.

De forma anàloga, es definix el ínfim $S$, si existix, com la major de les cotes inferiors de $S$, i se sol denotar per $\inf S$.

Definicions

Siga $T$ un subconjunt no buit de $ℝ$.

1. Si $T$ està acotat per dalt , llavors es diu que una cota superior és un suprem ―o una mínima cota superior― de $T$ si és menor que qualsevol cota superior de $T$. En tal cas, a eixa cota superior se li denota $\sup T$.
2. Si $T$ està acotat per avall, llavors es diu que una cota inferior és un ínfim ―o una màxima cota inferior― de $T$ si és major que qualsevol cota inferior de $T$. En tal cas, a eixa cota inferior se li denota $\inf T.$

Propietats

• En el cos dels número real, tot subconjunt no buit, acotat superiormente posseïx un suprem, contingut o no dins del subconjunt.

• $s$ és suprem del subconjunt $T$ no buit del conjunt $ℝ$ de número real si és cota superior de $T$ i si, i solament si para tota $\epsilon >0$ existix $s_{\epsilon }$ en $T$ tal que $s-\epsilon <s_{\epsilon }$.

• $r$ és ínfim del subconjunt $T$ no buit del conjunt $ℝ$ de número real si és cota inferior de $T$ i si, i solament si para tota $\epsilon >0$ existix $r_{\epsilon }$ en $T$ tal que $r+\epsilon >r_{\epsilon }$.

• Sean $L$ un subconjunt acotat de número real i $K$ un subconjunt no buit de $L$. Es complix que $\inf L\le \inf K\le \sup K\le \sup L$.

• Si el suprem (ínfim) existix, llavors és únic
• $\sup (A\cup B)=\max \{\sup (A),\sup (B)\}$, si és que dits suprems existixen
• $\inf (A\cup B)=\min \{\inf (A),\inf (B)\}$, si és que dits ínfims existixen
• Un conjunt té màxim (mínim) si i solament si el suprem (ínfim) és un element de dit conjunt.

Vore també

• Acotat

• Element maximal i minimal
• Element màxim i mínim

• Element mayorante i minorante
• Element major i menor

• Element suprem i ínfim

Bibliografia

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
• Supremum (en PlanetMath.org)
• Supremum function en MathWorld.