Matriu definida positiva

En l'àlgebra llineal, una matriu definida positiva és una matriu hermitiana que en molts aspectes és similar a un número real positiu, també pot tractar-se d'una matriu simètrica real els menors principals de la qual són positius (Criteri de Sylvester).

Definicions equivalents

Siga M una matriu hermitiana quadrada n × n. D'ara en avant denotarem la transpuesta d'una matriu o vector $a$ com $a^T$, i el conjugat transpuesto, $a^{*}$. Esta matriu M es diu definida positiva si complix en una (i per lo tant, les demés) de les següents formulació equivalents:

1.	Per a tots els vectores no nuls $z\in {ℂ}^n$ tenim que ${\mathbf{\text{𝐳}}}^{*}M\mathbf{\text{𝐳}}>0$. Note's que $z^{*}Mz$ és sempre real.
2.	Tots els autovalorés ${\lambda }_i$ de $M$ són positius. (Recordem que els autovalores d'una matriu hermitiana o en el seu defecte, simètrica, són reals.)
3.	La funció $⟨\mathbf{\text{𝐱}},\mathbf{\text{𝐲}}⟩={\mathbf{\text{𝐲}}}^{*}M\mathbf{\text{𝐱}}$ definix un producte intern ${ℂ}^n$.
4.	Tots els menors principals de $M$ són positius (Criteri de Sylvester). O lo que és equivalent; totes les següents matrius tenen determinants positius. la superior esquerra de M de dimensió 1x1 la superior esquerra de M de dimensió 2x2 la superior esquerra de M de dimensió 3x3 ... la superior esquerra de M de dimensió (n-1)x(n-1) $M$ en sí mateixa
	Per a matrius semidefinidas positives, tots els menors principals tenen que ser no negatius.

Análogament, si M és una matriu real simètrica, es reemplaça ${ℂ}^n$ per ${ℝ}^n$, i la conjugada transpuesta per la transpuesta.

Propietats

• Tota matriu definida positiva és invertible (el seu determinant és positiu), i la seua inversa és definida positiva.

• Si $M$ és una matriu definida positiva i $r>0$ és un número real, llavors $rM$ és definida positiva.

• Si $M$ i $N$ són matrius definides positives, llavors la suma $M+N$ també ho és. Ademés si $MN=NM$, llavors $MN$ és també definida positiva.

• Tota matriu definida positiva $M$, té una única matriu raïl quadrada $N$ tal que $N^2=M$.