Matriu hermitiana

Charles Hermite, matemàtic francés

Una matriu hermitiana (o hermítica, en memòria del matemàtic francés Charles Hermite) és una matriu quadrada d'elements complexos que té la característica de ser igual a la seua pròpia trasponer conjugada. És dir, l'element en la i-ésima fila i j-ésima columna és igual al conjugat de l'element en la j-ésima fila i i-ésima columna, per a tots els índexs i i j:

$a_{i,j}=\overline{a_{j,i}}$

o, escrita en la trasponer conjugada A*:

$A=(A^T{)}^{*}$

Per eixemple,

$A=\left[\begin{array}{cc}3& 2+i\\ 2-i& 1\end{array}\right]$

és una matriu hermítica.

Propietats

1. Siga $A=B+iC$, a on $A$ és hermitiana i $B$ i $C$ reals, llavors $B$ és simètrica ($B=B^T$) i $C$ antisimètrica ($C=-C^T$).
2. L'inversa d'una matriu hermitiana és també hermitiana, sempre i quan la matriu inicial siga invertible ($\det A\ne 0$).
3. En relació en la propietat 1, els autovalores d'estes matrius són reals.
4. En una matriu hermitiana, els elements de la diagonal principal són reals.
5. El determinant d'una matriu hermitiana és un número real.

Diagonalisació de matrius hermíticas

Siga $A\in {𝕜}^{n\times n}(𝕜=ℝ\text{ó}ℂ)$ hermítica, és dir $A=A^H$. Llavors $A$ és diagonalisable unitariament. O siga, li la pot descompondre de la següent manera:

$A=P\cdot \Delta \cdot P^H$

En a on:

1. $P$ és una matriu unitària i el conjunt $\mathrm{col}(P)$ és ortonormal i està format per autovectors de $A$ associats als seus respectius autovalors. Estos vectores deuen anar en orde, respecte dels seus autovalores.
2. $\Delta =\mathrm{diag}{[{\lambda }_1\cdots {\lambda }_n]}^T$ una matriu diagonal formada en autovalores de $A$ (tots reals)

Propietats

• $P\in {𝕜}^{n\times n}$ és unitària si i només si $P\cdot P^H=P^H\cdot P=I_n$ lo que implica que són ortogonals, és dir, ${\mathrm{col}}_i(P)\mathrm{\perp }{\mathrm{col}}_j(P^H)$ per a tot i distint de j, i si i és igual a j llavors $⟨{\mathrm{col}}_i(P),{\mathrm{col}}_i(P^H)⟩=1$. A on $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ és el producte intern canònic en ${𝕜}^n$.

Llavors el conjunt $\mathrm{col}(P)$ és una base ortonormal de ${𝕜}^n$. Observar que l'implicació de que el producte intern d'1 si coincidixen els subíndexs, implica que $\mathrm{fil}(P)$ és un conjunt ortonormal.

Cas particular: quan la matriu unitària complix ademés $P=P^T$ (observar que es tracta només del cas real), llavors ocorre que $P\cdot P^T=P\cdot P=P^2=I_n$. En este cas la matriu $P$ es diu involutiva i està associada a una reflexió respecte d'un pla. Vore transformació de Householder

Analisem el següent cas suponent $A\cdot v=\lambda \cdot v$. O siga $\lambda \in 𝕜$ autovalor de $A$ associat al autovector $v\in {𝕜}^n$:

$\bar{\lambda }⟨v,v⟩=⟨\lambda v,v⟩=⟨Av,v⟩=(Av{)}^H\cdot v=v^H{A}^H\cdot v=v^{H}A\cdot v=⟨v,Av⟩=⟨v,\lambda v⟩=\lambda ⟨v,v⟩$

D'a on

$\bar{\lambda }⟨v,v⟩=\lambda ⟨v,v⟩⟺\bar{\lambda }=\lambda ⟺\lambda \in ℝ$

Sean $v_1,\cdots ,v_n$ autovectores de la matriu Hermítica $A\in {𝕜}^{n\times n}$ associats als autovalores ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ respectivament. Supongam que a lo manco, existix un parell d'estos últims distints, és dir, ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ per a algun parell $1\le i,j\le n,i\ne j$. Llavors $v_i\mathrm{\perp }{v}_j$. És dir, autovectores associats a autovalores distints són ortogonals

${\lambda }_i⟨v_i,v_j⟩=⟨{\lambda }_i{v}_i,v_j⟩=⟨A{v}_i,v_j⟩=v^H{A}^H{v}_j=v^{H}A{v}_j=⟨v_i,A{v}_j⟩=⟨v_i,{\lambda }_j{v}_j⟩={\lambda }_j⟨v_i,v_j⟩$

D'a on

${\lambda }_i⟨v_i,v_j⟩={\lambda }_j⟨v_i,v_j⟩⟺({\lambda }_i-{\lambda }_j)⟨v_i,v_j⟩=0⟺v_i\mathrm{\perp }{v}_j$

Vore també

• Charles Hermite
• Matriu antihermítica
• Matriu normal
• Operador hermítico
• Subespacios fonamentals d'una matriu