Subespacios fonamentals d'una matriu

Siga $A \in ℳ_{m \times n} (K)$ , $K$ un cos, una matriu en coeficients $a_{i j} \in K$ . Es definix l'espai columna, l'espai fila i l'espai nul de $A$ , respectivament, com

$Col (A) : = ⟨ (a_{11}, \dots, a_{m 1}), \dots, (a_{1 n}, \dots, a_{m n}) ⟩ \subseteq K^{m}$ ;
$Fil (A) : = ⟨ (a_{11}, \dots, a_{1 n}), \dots, (a_{m 1}, \dots, a_{m n}) ⟩ \subseteq K^{n}$ ;
$Nul (A) : = {x \in K^{n} : A x = 0}$ ;

a on $0$ denota el vector nul de l'espai vectorial $K^{m}$ .

Eixemples

Siga $A : = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & 1 & 1 \end{matrix})$ . Llavors:
$Col (A) = ⟨ (- 1, 1, - 2), (1, 1, 1), (0, - 2, 1) ⟩ = ⟨ (- 1, 1, - 2), (1, 1, 1) ⟩$ ;
$Fil (A) = ⟨ (- 1, 1, 0), (1, 1, - 2), (- 2, 1, 1) ⟩ = ⟨ (- 1, 1, 0), (1, 1, - 2) ⟩$ ;
$Nul (A) = ⟨ (1, 1, 1) ⟩$ .
La matriu no té per qué ser quadrada; vejam un atre eixemple:
Siga $B : = (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 3 & - 6 \\ - 2 & 4 \end{matrix})$ . Llavors:
$Col (B) = ⟨ (- 1, 3, - 2), (2, - 6, 4) ⟩ = ⟨ (- 1, 3, - 2) ⟩$ ;
$Fil (B) = ⟨ (- 1, 2), (3, - 6), (- 2, 4) ⟩ = ⟨ (- 1, 2) ⟩$ ;
$Nul (B) = ⟨ (2, 1) ⟩$ .

Propietats

Per a les relacions de ortogonalidades entre conjunts, sempre es considera el producte escalar estàndar de $K^{m}$ o $K^{n}$ :

$Col (A^{T}) = Fil (A)$

$Fil (A^{T}) = Col (A)$

$Nul (A) ⊥ Fil (A)$

$Col (A) ⊥ Nul (A^{T})$

$\dim (Col (A)) = \dim (Col (A^{T})) = rg (A) = rg (A^{T})$ .

Si $A = (a_{i j}) \in ℳ_{n \times n} (K)$ i ademés les columnes de $A$ , ${(a_{11}, \dots, a_{n 1}), \dots, (a_{1 n}, \dots, a_{n n})}$ , formen un conjunt linealmente independent de $K^{n}$ , llavors $\det (A) \neq 0$ , o siga, la matriu és invertible.

Si $A = (a_{i j}) \in ℳ_{n \times n} (K)$ i ademés $Nul (A) \neq {0}$ , llavors $\det (A) = 0$ , o siga, la matriu no és invertible.

$\dim (Col (A)) + \dim (Nul (A)) = n$ .

Sean $A \in ℳ_{n \times m} (K)$ i $B \in ℳ_{p \times n} (K)$ . Si $x \in Col (B A)$ , llavors existix $y \in K^{m}$ tal que $B A y = x$ . Si prenem $w = A y$ , llavors $B w = x$ , aixina que $x \in Col (B)$ . Per lo tant, $Col (B A) \subseteq Col (B)$ . Ademés $Col (B A) = Col (B)$ si i solament si $rg (A) = n$ .

Sean $A \in ℳ_{n \times m} (K)$ i $B \in ℳ_{p \times n} (K)$ —en particular, $B A \in ℳ_{p \times m} (K)$ —. Llavors si $A x = 0$ , també es té que $B A x = 0$ . Aixina, $Nul (A) \subseteq Nul (B A)$ , i ocorre que $Nul (A) = Nul (B A)$ si i solament si $rg (B) = n$ .

Supongam que $K = ℝ$ i siga $A \in ℳ_{m \times n} (ℝ)$ . Vejam que $Nul (A) = Nul (A^{T} A)$ . Siga $x \in Nul (A)$ , llavors $A x = 0$ , per lo que $A^{T} A x = 0$ . Per un atre costat, si $x \in Nul (A^{T} A)$ , tenim que $A^{T} A x = 0$ , per lo tant $x^{T} A^{T} A x = 0$ . Com $x^{T} A^{T} A x = (A x)^{T} A x = ⟨ A x, A x ⟩$ , a on $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ denota el producte escalar estàndart de $ℝ^{m}$ , necessàriament $A x = 0$ , després, $x \in Nul (A)$ .

Este artícul conté una traducció derivada de «Subespacios fundamentales de una matriz» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.