Subespacios fonamentals d'una matriu

Siga $A\in {ℳ}_{m\times n}(K)$, $K$ un cos, una matriu en coeficients $a_{ij}\in K$. Es definix l'espai columna, l'espai fila i l'espai nul de $A$, respectivament, com

1. $\mathrm{Col}(A):=⟨(a_{11},\dots ,a_{m1}),\dots ,(a_{1n},\dots ,a_{mn})⟩\subseteq K^m$;
2. $\mathrm{Fil}(A):=⟨(a_{11},\dots ,a_{1n}),\dots ,(a_{m1},\dots ,a_{mn})⟩\subseteq K^n$;
3. $\mathrm{Nul}(A):=\{x\in K^n:Ax=0\}$;

a on $0$ denota el vector nul de l'espai vectorial $K^m$.

Eixemples

1. Siga $A:=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 1& 1& -2\\ -2& 1& 1\end{array}\right)$. Llavors:
   $\mathrm{Col}(A)=⟨(-1,1,-2),(1,1,1),(0,-2,1)⟩=⟨(-1,1,-2),(1,1,1)⟩$;
   $\mathrm{Fil}(A)=⟨(-1,1,0),(1,1,-2),(-2,1,1)⟩=⟨(-1,1,0),(1,1,-2)⟩$;
   $\mathrm{Nul}(A)=⟨(1,1,1)⟩$.
   La matriu no té per qué ser quadrada; vejam un atre eixemple:
2. Siga $B:=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -6\\ -2& 4\end{array}\right)$. Llavors:
   $\mathrm{Col}(B)=⟨(-1,3,-2),(2,-6,4)⟩=⟨(-1,3,-2)⟩$;
   $\mathrm{Fil}(B)=⟨(-1,2),(3,-6),(-2,4)⟩=⟨(-1,2)⟩$;
   $\mathrm{Nul}(B)=⟨(2,1)⟩$.

Propietats

Per a les relacions de ortogonalidades entre conjunts, sempre es considera el producte escalar estàndar de $K^m$ o $K^n$:

• $\mathrm{Col}(A^T)=\mathrm{Fil}(A)$

• $\mathrm{Fil}(A^T)=\mathrm{Col}(A)$

• $\mathrm{Nul}(A)\perp \mathrm{Fil}(A)$

• $\mathrm{Col}(A)\perp \mathrm{Nul}(A^T)$

• $\dim (\mathrm{Col}(A))=\dim (\mathrm{Col}(A^T))=\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^T)$.

Si $A=(a_{ij})\in {ℳ}_{n\times n}(K)$ i ademés les columnes de $A$, $\{(a_{11},\dots ,a_{n1}),\dots ,(a_{1n},\dots ,a_{nn})\}$, formen un conjunt linealmente independent de $K^n$, llavors $\det (A)\ne 0$, o siga, la matriu és invertible.

Si $A=(a_{ij})\in {ℳ}_{n\times n}(K)$ i ademés $\mathrm{Nul}(A)\ne \{0\}$, llavors $\det (A)=0$, o siga, la matriu no és invertible.

• $\dim (\mathrm{Col}(A))+\dim (\mathrm{Nul}(A))=n$.

• Sean $A\in {ℳ}_{n\times m}(K)$ i $B\in {ℳ}_{p\times n}(K)$. Si $x\in \mathrm{Col}(BA)$, llavors existix $y\in K^m$ tal que $BAy=x$. Si prenem $w=Ay$, llavors $Bw=x$, aixina que $x\in \mathrm{Col}(B)$. Per lo tant, $\mathrm{Col}(BA)\subseteq \mathrm{Col}(B)$. Ademés $\mathrm{Col}(BA)=\mathrm{Col}(B)$ si i solament si $\mathrm{rg}(A)=n$.

• Sean $A\in {ℳ}_{n\times m}(K)$ i $B\in {ℳ}_{p\times n}(K)$ —en particular, $BA\in {ℳ}_{p\times m}(K)$—. Llavors si $Ax=0$, també es té que $BAx=0$. Aixina, $\mathrm{Nul}(A)\subseteq \mathrm{Nul}(BA)$, i ocorre que $\mathrm{Nul}(A)=\mathrm{Nul}(BA)$ si i solament si $\mathrm{rg}(B)=n$.

• Supongam que $K=ℝ$ i siga $A\in {ℳ}_{m\times n}(ℝ)$. Vejam que $\mathrm{Nul}(A)=\mathrm{Nul}(A^{T}A)$. Siga $x\in \mathrm{Nul}(A)$, llavors $Ax=0$, per lo que $A^{T}Ax=0$. Per un atre costat, si $x\in \mathrm{Nul}(A^{T}A)$, tenim que $A^{T}Ax=0$, per lo tant $x^T{A}^{T}Ax=0$. Com $x^T{A}^{T}Ax=(Ax{)}^{T}Ax=⟨Ax,Ax⟩$, a on $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ denota el producte escalar estàndart de ${ℝ}^m$, necessàriament $Ax=0$, després, $x\in \mathrm{Nul}(A)$.