Matriu unitària

En matemàtica, una matriu unitària és una matriu complexa O, de n per n elements, que satisfà la condició:

$U^{*}U=U{U}^{*}=I_n$

a on $I_n$ és la matriu identitat i $U^{*}$és el trasponer conjugat (també cridat el hermitiano adjunt o la hermítica) de O. Esta condició implica que una matriu O és unitària si té inversa igual a la seua trasponer conjugada $U^{*}$.

Una matriu unitària en la que totes les entrades són reals és una matriu ortogonal, i per tant preserva el producte escalar de dos vectorés reals.

$⟨Gx,Gy⟩=⟨x,y⟩$

aixina que una matriu unitària O satisfà

$⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$

per a tots els vectores complexos x i i', a on $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ representa al producte escalar en ${ℂ}^n$. Si $A$ és una matriu n per n llavors les següents condicions són equivalents:

1. $A$ és unitària
2. $A^{*}$ és unitària
3. Les columnes de $A$ formen una base ortonormal de ${ℂ}^n$ sobre el producte escalar usual.
4. Les files de $A$ formen una base ortonormal de ${ℂ}^n$ sobre el producte escalar usual.
5. $A$ és una isometría sobre la norma del seu producte escalar

Es desprén de la definició d'isometría que tots els autovalorés d'una matriu unitària són número complejo de valor absolut 1. Com el determinant és el producte dels valors propis podem concloure que el determinant d'una matriu unitària té mòdul 1.

Totes les matrius unitàries són normals, i el teorema espectral s'aplica a a elles. D'esta forma, tota matriu unitària O té una descomposició de la forma

$U=V\Sigma V^{*}$

a on V és unitària, i $\Sigma$ és diagonal i unitària.

Per a tot n, el conjunt de totes les matrius unitàries n per n formen un grup en el producte de matrius.

Una matriu unitària és especial si el seu determinant és 1.

Vore també

• matriu ortogonal
• grup unitari
• grup especial unitari
• operador unitari