Anàlisis dimensional

El anàlisis dimensional és una ferramenta que permet simplificar l'estudi de qualsevol fenomen en el que estiguen involucrades moltes magnituts físiques en forma de variables independents. El seu resultat fonamental, el teorema π de Vaschy-Buckingham (més conegut per teorema π) permet canviar el conjunt original de paràmetros d'entrada dimensionals d'un problema físic per un atre conjunt de paràmetros d'entrada adimensionales més reduït. Estos paràmetros adimensionales s'obtenen per mig de combinacions adequades dels paràmetros dimensionals i no són únics, encara que sí ho és el número mínim necessari per a estudiar cada sistema. D'esta manera, en obtindre un d'estos conjunts de tamany mínim es conseguix:

• Analisar en major facilitat el sistema objecte d'estudi
• Reduir dràsticament el número d'ensajos que deu realisar-se per a averiguar el comportament o resposta del sistema.

L'anàlisis dimensional és la base dels ensajos en maquetas a escala reduïda utilisats en moltes branques de l'ingenieria, tals com l'aeronàutica, l'automoció o l'ingenieria civil. A partir de dits ensajos s'obté informació sobre lo que ocorre en el fenomen a escala real quan existix semblança física entre el fenomen real i l'ensaig, gràcies a que els resultats obtinguts en una maqueta a escala són vàlits per al model a tamany real si els números adimensionales que es prenen com a variables independents per a l'experimentació tenen el mateix valor en la maqueta i en el model real. Aixina, per a este tipo de càlculs, s'utilisen equacions dimensionals, que són expressions algebraiques que tenen com variables a les unitats fonamentals i derivades, les quals s'usen per a demostrar fòrmules, equivalència o per a donar unitats a una resposta.

Finalment, l'anàlisis dimensional també és una ferramenta útil per a detectar errors en els càlculs científics i ingenieriles. Con este fin es comprova la congruència de les unitats amprades en els càlculs, prestant especial atenció a les unitats dels resultats.

Anàlisis dimensional

Per a reduir un problema dimensional a un atre adimensional en menys paràmetros (perque les variables de treball es reduïxen a números adimensionales), se seguixen els següents passos generals:

1. Contar el número de variables dimensionals n.
2. Contar el número d'unitats bàsiques (llongitut, temps, massa, temperatura, etc.) m
3. Determinar el número de grups adimensionales. El número de grups o números adimensionales ($\Pi$)és n - m.
4. Fer que cada número $\Pi$ depenga de n - m variables fixes i que cada u depenga ademés d'una de les n - m variables restants (es recomana que les variables fixes siguen una del decorregut o mig, una geomètrica i una atra cinemàtica; això per a assegurar que els números adimensionales trobats tinguen en conte totes les senyes del problema).
5. Cada $\Pi$ es posa com un producte de les variables que ho determinen elevades cada una a una potència desconeguda. Per a garantisar adimensionalidad deuen trobar-se tots els valors dels exponents tal que es cancelen totes les dimensions implicades.
6. El número $\Pi$ que continga la variable que es desija determinar es posa com a funció dels demés números adimensionales. La variable del número adimensional que es desija determinar es posa en funció del restant en l'objecte de determinar la relació funcional per a lo que servix posseir una equació empírica per a guiar-me en el rebuge. Si no tinc una equació empírica dec determinar en senyes experimentals a baixa escala o si es pot a alta escala per eixemple quan l'empresa està fent proves lo que comporta una inversió major. En el cas de realisar experiments a baixa escala llavors dec trobar una equació empírica i constatar en senyes experimentals de la planta més gran.

Aplicacions de l'Anàlisis dimensional

• Detecció d'errors de càlcul.
• Resolució de problemes la solució directa dels quals comporta dificultats matemàtiques insalvables.
• Creació i estudi de models reduïts.
• Consideracions sobre l'influència de possibles canvis en els models, etc.

Un eixemple d'Anàlisis dimensional

Calculem per mig d'Anàlisis Dimensional la velocitat d'un cos en caiguda lliure. Sabem que dita velocitat $v$ dependrà de l'altura $h$ i de la gravetat $g$. Pero imaginem que també se nos ocorre dir que la velocitat depén de la massa $m$. Una de les bondats de l'Anàlisis Dimensional és que és "autocorregible", és dir, el procediment, per sí solament, elimina les unitats que no són necessàries.

• Identificar les magnituts de les variables:

• Formar la matriu

$\begin{array}{cc}& \left[\begin{array}{cccc}[h]& [g]& [v]& [m]\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}\mathbf{\text{𝐌}}\\ \mathbf{\text{𝐋}}\\ \mathbf{\text{𝐓}}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& -2& -1& 0\end{array}\right]\end{array}$

• Fer el producte de matrius:

Ací tenim que dir que ${ϵ}_k$ es referix a l'exponent de l'unitat $k$, pero això es vorà en passos successius.

$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& -2& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{ϵ}_h\\ {ϵ}_g\\ {ϵ}_v\\ {ϵ}_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

• Desenrollar el producte de matrius i resoldre el sistema d'equacions.

Es forma un sistema d'equacions. Si nos fixem, tenim 4 incògnites, i només 3 equacions, aixina que per a que el sistema puga ser resolt, necessitem tantes incògnites com a equacions. ¿Cóm se subsana el problema? Molt senzill: s'agarra un ${ϵ}_k$ qualsevol i li assignem el valor que vullgam, a excepció del 0. En el nostre cas, anem a prendre ${ϵ}_v$ com $1$.

$\{\begin{array}{cccccc}{ϵ}_m& & & & =& 0\\ & {ϵ}_h& +{ϵ}_g& +{ϵ}_v& =& 0\\ & & -2{ϵ}_g& -{ϵ}_v& =& 0\end{array}⟶\{\begin{array}{ccccc}{ϵ}_m& & & =& 0\\ & {ϵ}_h& +{ϵ}_g& =& -{ϵ}_v& =& -1\\ & & -2{ϵ}_g& =& {ϵ}_v& =& 1\end{array}$

Si apliquem la solució inicial que hem propost anteriorment (${ϵ}_v=1$), es realisen els senzills càlculs i apleguem a les solucions:

${ϵ}_h=-1/2$

${ϵ}_g=-1/2$

${ϵ}_v=1$

${ϵ}_m=0$

• Formar el/els grups $\Pi$

Un grup $\Pi$ és una equació adimensional. ¿Quants grups $\Pi$ anem a obtindre? Puix si $m$ és el número d'unitats (les unitats són el metro, el quilo, el segon, el grau, ...), i $h$ el ranc màxim de la matriu que conté els coeficients de les magnituts de les unitats (a voltes coincidix el ranc de la matriu en el número de variables que tenim, encara que esta no és una regla fiable), el número de grups $\Pi$ (o equacions que obtindrem) serà $m-h$. En el cas que nos ocupa, $4-3=1$ equació.

Ara s'agarren les unitats que hem pres en el nostre problema i les elevem als exponents que hem obtingut. Eixa és la nostra equació.

$\Pi =h^{-1/2}{g}^{-1/2}{v}^1{m}^0=\frac{v}{\sqrt{gh}}$

(Note's que $\Pi$ és adimensional). Ací obtenim allò que cridàvem "autocorrección": l'exponent de la massa és 0, aixina que desapareix de la nostra equació, demostrant una volta més que la caiguda lliure no depén de la massa de l'objecte en qüestió.

• Pas final: obtenció de l'equació.

$v=k\sqrt{gh}$

en $k$ valent $\sqrt{2}$, lo que nos dona la fòrmula correcta:

$v=\sqrt{2gh}$

Principi de Fourier d'homogeneïtat dimensional

El principi de Fourier homogeneïtat dimensional és un principi de bona formació de les expressions que relacionen magnituts físiques de manera algebraica. És dir, és un principi de consistència matemàtica que postula solament és possible sumar o restar entre sí magnituts físiques de la mateixa naturalea. En conseqüència, no podem sumar llongitut en temps, o massa en llongitut, etc.

Eixemple

El principi pot ilustrar-se, en l'eixemple, de l'energia d'un cos que és la suma de la seua energia cinètica més la seua energia potencial:

$E=E_c+E_p$

Expressant l'energia cinètica i potencial tindrem:

$E=\frac{1}{2}m{v}^2+mgh$

Expressant la velocitat i l'acceleració segons les magnituts fonamentals:

$E=\frac{1}{2}m{\left(\frac{e}{t}\right)}^2+m\frac{e}{t^2}h$

Expressat en forma dimensional:

$E=\frac{1}{2}[M][L{]}^2[T{]}^{-2}+[M][L{]}^2[T{]}^{-2}$

Com pot vore's tant l'energia cinètica: un mig de la massa per la velocitat al quadrat i l'energia potencial: la massa per la gravetat i per l'altura, és en abdós casos energia en la mateixa equació dimensional.

Per tant, este principi de Fourier garantisa la coherència d'una equació física. És important recordar que si be les constants numèriques són adimensionales (equació dimensional igual a l'unitat), per un atre costat les constants físiques tenen dimensió diferent de l'unitat:

i = 2,718281... (base dels logaritmos neperianos) → $[e]=1$;

c = 299 792 458 m/s (velocitat de la llum en el buit) → $[c]=[v]=L{T}^{-1}$