Teorema π de Vaschy-Buckingham
La teorema Π (pi) de Vaschy-Buckingham és el teorema fonamental del anàlisis dimensional. La teorema establix que donada una relació física expressable per mig d'una equació en la que estan involucrades n magnituts físiques o variables, i si dites variables s'expressen en térmens de k cantitats pertanyents a les magnituts fonamentals com a llongitut, massa o temps, llavors l'equació original pot escriure's equivalentemente com una equació en una série de n - k números adimensionales construïts en les variables originals.
Esta teorema proporciona un método de construcció de paràmetros adimensionales, inclús quan la forma de l'equació és desconeguda, encara que l'elecció de paràmetros adimensionales no és única i la teorema no proporciona informació sobre quins són més adequats. Per lo tant, hi ha una ambivalencia en quins són estos nous paràmetros Π.
Ademés de la construcció dels paràmetros adimensionales, esta teorema afirma que qualsevol llei física és independent del sistema d'unitats en les que s'expresse.
Història
[editar | editar còdic]Encara que nomenat per Edgar Buckingham, la teorema Π va ser demostrada per segona volta pel matemàtic francés J. Bertrand[1] en 1878. Bertrand va considerar sol casos especials de problemes d'electrodinàmica i conducció de calor, pero el seu artícul conté en térmens clars totes les idees bàsiques de la moderna prova de la teorema i una indicació de la seua utilitat per a la modelació de fenomens físics. La tècnica d'usar la teorema ("el método de les dimensions") va aplegar a ser àmpliament coneguda per les obres de Rayleigh (la primera aplicació de la teorema Π en el cas general[2] a la dependència de la caiguda de pressió en una canonada regida per paràmetros provablement es remonta a 1892,[3] i una prova heurística en l'us d'expansió de la série, a 1894[4]).
La generalisació formal de la teorema Π per al cas de moltes cantitats arbitràries va ser provat per primera volta per Aimé Vaschy en 1892,[5] i després en 1911 —segons pareix de forma independent— tant per A. Federman[6] i D. Riabouchinsky,[7] i de nou en 1914 per Buckingham.[8] Va ser l'artícul de Buckingham el que va introduir l'us del símbol "Πi" per a les variables adimensionales (o paràmetros), i és la causa del nom de la teorema.
Introducció
[editar | editar còdic]Si tenim una equació física que reflectix la relació existent entre les variables que intervenen en un cert problema deu existir una funció f tal que:
en a on Ai són les n variables o magnituts físiques rellevants, i s'expressen en térmens de k unitats físiques fonamentals, de número màxim tres: llongitut, massa, temps. Llavors l'anterior equació es pot reescriure com:
en a on són els paràmetros adimensionales construïts de n − k equacions de la forma:
en a on els exponents mi són número entero. El número de térmens adimensionales construïts n - k és igual a la nulitat de la matriu dimensional en a on k és el ranc de la matriu.
La notació de πi com a paràmetros adimensionales va ser introduïda per Edgar Buckingham en el seu artícul de 1914, d'ahí el nom de la teorema. No obstant, l'autoria del mateix deu adscriure's a Aimé Vaschy, qui ho va enunciar en 1892.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Bertrand, J. (1878). “Sur l'homogénéité dans els formules de physique”. Comptes rendus 86: 916–920.
- ↑ Quan en aplicar la teorema pi sorgix una funció arbitrària de números adimensionales.
- ↑ Rayleigh (1892). “On the question of the stability of the flow of liquids”. Philosophical magazine 34: 59–70. doi:.
- ↑ Segona edició de «The Theory of Sound» (Strutt, John William (1896). The Theory of Sound (vol. 2), Macmillan.).
- ↑ Cites de l'artícul de Vaschy en la seua declaració de la teorema Πes poden trobar en: Macagno, E. O. (1971). “Historico-critical review of dimensional analysis”. Journal of the Franklin Institute 292 (6): 391–402. doi:.
- ↑ Федерман, А. (1911). “О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка”. Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики 16 (1): 97–155. (Federman A., On some general methods of integration of first-order partial differential equations, Proceedings of the Saint-Petersburg polytechnic institute. Section of technics, natural science, and mathematics)
- ↑ Riabouchinsky, D. (1911). “Мéthode dones variables de dimension zéro et són application en aérodynamique”. L'Aérophile: 407–408.
- ↑ Text original de l'artícul de Buckingham en Physical Review
- Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema π de Vaschy-Buckingham» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.