Espai funcional

En matemàtiques, un espai funcional és un conjunt de funcions d'un conjunt X a un conjunt I, d'una classe donada. Es diu un espai perque en la majoria de les aplicacions, és un espai topològic o un espai vectorial. Els espais funcionals apareixen en vàries àrees de les matemàtiques:

• en la teoria de conjunts, el conjunt de parts d'un conjunt X es pot identificar en el conjunt de totes les funcions de X en {0, 1} (funcions característiques);
• en l'àlgebra llineal el conjunt de totes les transformacions llineals de l'espai vectorial de V en un atre, W, sobre el mateix cos, és en sí mateixa un espai funcional;
• en l'anàlisis funcional es veu lo mateix per a les transformacions llineals contínues, incloent topología en els espais vectorials subjacents, i molts dels eixemples principals són espais funcionals en topología;
• en la topología, un pot procurar posar una topología en les funcions contínues de l'espai topològic X a un atre I, l'utilitat del qual depén de la naturalea dels espais;
• en la topología algebraica, l'estudi de la teoria de la homotopía és essencialment el de invariantes discrets d'espais funcionals;
• en la teoria del procés estocàstic, el problema tècnic bàsic és cóm construir una mida de provabilitat en un espai funcional de trayectòries del procés (funcions del temps);
• en la teoria de categories l'espai funcional apareix com bifuntor canònic de representació pero com funtor simple de tipo [X, -] com funtor adjunt, a un funtor del tipo (Xx -) en objectes;
• en el càlcul lambda i la programació funcional, tipos d'espai funcional s'utilisen per a expressar l'idea de funció d'orde superior.
• en la teoria de dominis, l'idea bàsica és trobar construccions d'un orde parcial que puga modelar càlcul lambda, creant una bona categoria cartesiana tancada.

Una atra idea relacionada des de la física és el espai de configuració. Açò no té un significat únic, pero per a N partícules movent-se en una varietat M pot ser l'espai de posicions M^N o el subespacio a on no hi ha dos posicions iguals. Per a prendre en conte la posició i els moments un es mou al fibrado cotangente. Les configuracions d'una curva serien un espai funcional d'alguna classe. En la mecànica quàntica una formulació accentua les històries com a configuracions. En breu, un espai de configuració és típicament "la mitat" (vore distribució lagrangiana) del espai de fase que es construïx des d'un espai funcional.

Els espais de configuració es relacionen en la teoria de trenes, també, ya que la condició en una cuerdo de no passar per sí mateixa és formulada tallant diagonalés dels espais funcionals.