Argument (anàlisis complex)

L'argument, abreviat com «arg», d'un número complex $z$ és l'àngul comprés entre l'eix real positiu del pla complex i la llínea que unix $z$ en l'orige de dit pla.

Un número complex pot ser visualment representat com un punt localisat en el pla complex. El valor de l'àngul $\phi$ és l'argument del número complex $z=x+iy$.

Definició

• Geomètrica: Siga $z=x+yi$ un número complex. Interpretant este número com un punt en el pla complex es té que les seues coordenades són $(x,y)$. Prenent els punts $(0,0)$, $(x,0)$ i $(x,y)$ i unint-los, s'obté un triàngul rectàngul. D'esta manera, l'argument és l'àngul format per la llínea que passa per $(0,0)$ i $(x,y)$ i l'eix real en el sentit de gir contrari a les agulles de rellonge.
• Algebraica: Usant la fòrmula de Euler:

i les raons trigonomètriques per al sen i el coseno:

podem establir la següent relació:

sent

el mòdul de $z$ i

l'argument.

En abdós casos, la forma de calcular l'argument d'un número complex expressat en forma binomial és:

Esta definició, en principi, és un tant dèbil, ya que l'image de la funció arcotangente està acotada en l'interval (-π/2,π/2), i per a valors de x negatius prenent com a referència l'eix real i el sentit de gir contrari a les agulles de rellonge, tiraria valors majors que π/2 (menors que -π/2), que ixen fòra de l'interval d'image de la funció arcotangente. Aixina i tot, hi ha una forma senzilla de salvar este problema sumant π o -π convenientment, per a obtindre el valor correcte d'argument en cada u dels quatre quadrants, per lo que este método per a calcular-ho és el més àmpliament utilisat.

Ademés, el valor de l'argument d'un número complex (distint de zero) no és únic, sino que té múltiples valors, com es pot observar en la definició geomètrica, fent girar l'àngul format 2πn radianes en qualsevol dels dos sentits de gir, aixina com en la definició algebraica, per la periodicitat de les funcions sen i coseno. Una definició més rigorosa és la següent:

a on Arg z és el valor principal de l'argument.

Valor principal

Dos eleccions per a l'argument φ d'un número complex

Ya que una rotació completa al voltant de 0 deixa a un número complex sense canvis, existixen múltiples opcions que pot prendre com a valor φ, formant un conjunt de valors. Es denomina valor principal de l'argument al valor d'este que està contingut dins de l'interval (−π, π], que va des del valor −π a π radians, excloent el primer, incloent el segon (−180 a +180 graus sexagesimals), de manera que:

$\mathrm{Arg}:ℂ\mathrm{\setminus }\{0\}\to (-\pi ,\pi ]$

Càlcul del valor principal

El valor principal d'un número complex genèric $z=x+yi$ (sent x=Re(z) i i=Im(z)) ve dau per la següent expressió:

$\varphi =\mathrm{Arg}(z)=\mathrm{atan2}(y,x)$

a on nuguen2(i,x) és la funció arcotangente definida per als quatre quadrants:

$\mathrm{atan2}(y,x)=\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x>0\\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)+\pi & y\ge 0,x<0\\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)-\pi & y<0,x<0\\ +\frac{\pi }{2}& y>0,x=0\\ -\frac{\pi }{2}& y<0,x=0\\ \text{indefinido}& y=0,x=0\end{array}$

O també: $\mathrm{atan2}(y,x)=\frac{\pi }{2}\mathrm{sgn}(y)-\arctan \left(\frac{y}{x}\right),\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2-\{(x,y)|x=0\}$. Sent:

$\mathrm{sgn}(y)=\{\begin{array}{c}1y\ge 0\\ -1y<0\end{array}$

la funció signe.

Encara que la funció nuguen2(i,x) és molt pràctica perque està implementada en molts llenguages de programació, aixina com en el excel. Per a realisar els càlculs en calculadora pot deduir-se de la fòrmula de l'àngul mitat $tan\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{sen\alpha }{1+cos\alpha }=\frac{|z|sen\alpha }{|z|+|z|cos\alpha }=\frac{Im(z)}{|z|+Re(z)}$ quedant aixina la funció:

$\mathrm{Arg}(z)=\{\begin{array}{cc}2\arctan \left(\frac{Im(z)}{|z|+Re(z)}\right)& z\in ̸{ℝ}^{-}\\ \pi & z\in {ℝ}^{-}\end{array}$

Cal destacar que s'ha triat l'àngul $0rad$ per al número 0 per a poder treballar en dit número, ya que l'àngul no afecta a les operacions en 0.

Referències

• G. Zill, Dennis; Shanahan, Patrick (2009). «1. Complex Numbers and the Complex Plane», A First Course in Complex Analysis With Applications, 2ª edició (en anglés), Massachusetts (USA): Jones & Bartlett Publishers, pp. 15-24. ISBN 0763757721.