Constant de normalisació

La constant de normalisació és un terme que apareix en teoria de la provabilitat i en distintes atres àrees de les matemàtiques. S'utilisa per a reduir qualsevol funció de provabilitat a una funció de densitat de provabilitat, de manera que la seua provabilitat total tinga valor un.

Definició i eixemples

En teoria de la provabilitat, una constant de normalisació es definix com un valor per mig del que una funció no negativa en tot el seu domini deu multiplicar-se per a que l'àrea baix de la seua gràfica siga 1, per eixemple, per a convertir-la en una funció de densitat de provabilitat o en una funció de provabilitat. Per eixemple, si es definix

$p(x)=e^{-x^2/2},x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

llavors es té que

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi },$

Si es definix una funció $\phi (x)$ com

$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$

i per lo tant

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx=1$

Llavors, es diu que la funció $\phi (x)$ és una funció de densitat de provabilitat. En este cas, es tracta d'una distribució normal estàndar (ací, estàndart significa que el seu esperança matemàtica és 0 i la seua varianza és 1).

En conseqüència, la constant $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ és la constant de normalisació de la funció $p(x)$.

De forma similar,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^n}{n!}=e^{\lambda },$

i conseqüentment

$f(n)=\frac{{\lambda }^n{e}^{-\lambda }}{n!}$

és una funció de densitat en el conjunt de tots els sancers no negatius. Esta és la funció de provabilitat de densitat de la distribució de Poisson en el valor esperat λ.

Es deu tindre en conte que si la funció de densitat de provabilitat és una funció de varis paràmetros, també ho serà el seu constant de normalisació. La constant de normalisació parametrizada per a la distribució Boltzmann eixercita un paper central en la física estadística. En eixe context, la constant de normalisació es diu funció de partició.

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes afirma que la mida de la provabilitat posterior és proporcional al producte de la mida de provabilitat anterior i a la funció de verosimilitut. Proporcional a implica que deu multiplicar-se o dividir-se per una constant de normalisació per a assignar la mida 1 a tot l'espai, és dir, per a obtindre una mida de provabilitat. En un cas simple i discret es té que

$P(H_0|D)=\frac{P(D|H_0)P(H_0)}{P(D)}$

a on P (H₀) és la provabilitat prèvia de que l'hipòtesis siga certa; P(D|H₀) és la provabilitat condicionada de les senyes ya que l'hipòtesis és certa, pero ya que les senyes són conegudes, és la verosimilitut de l'hipòtesis (o els seus paràmetros) donats les senyes; P(H₀|D) és la provabilitat posterior de que l'hipòtesis siga certa donats les senyes. P(D) deu ser la provabilitat de produir les senyes, pero per sí sola és difícil de calcular, per lo que una forma alternativa de descriure esta relació és com una condició de proporcionalitat:

$P(H_0|D)\propto P(D|H_0)P(H_0).$

Ya que P (H|D) és una provabilitat, la suma sobre totes les possibles hipòtesis (mútuament excloents) deu ser 1, lo que du a la conclusió de que

$P(H_0|D)=\frac{P(D|H_0)P(H_0)}{\sum _{i}P(D|H_i)P(H_i)}.$

En este cas, el recíproc del valor

$P(D)=\sum _{i}P(D|H_i)P(H_i)$

és la constant de normalisació. El principi pot generalisar-se des d'un número finito d'hipòtesis fins a una distribució contínua reemplaçant la suma per una integral.

Bibliografia

• Continuous Distributions at Department of Mathematical Sciences: University of Alabama in

Huntsville *Feller, William. An Introduction to Probability Theory and its Applications (volume I), John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25708-7.