Provabilitat a posteriori

En estadística bayesiana, la provabilitat condicional Inversa d'un event aleatori és la provabilitat condicional que és assignada en acabant de que l'evidència és presa en conte.

Definició

Tenint la creència a priori de que la funció de distribució de provabilitat és $p(\theta )$ i de que una observació $X$ en la verosimilitut $p(X|\theta )$, la provabilitat condicional inversa és definida com $p(\theta |X)$ $\propto$ $p(\theta )p(X|\theta )$.

Eixemple

Suponga's un colege mixt a on el 60% dels estudiants són chics i el 40% són chiques. Les chiques duen pantaló o falda en provabilitats iguals; els chics sempre duen pantalons. Un observador veu des de llunt un estudiant aleatori; lo únic que pot distinguir l'observador és que l'o l'estudiant du pantalons. ¿Quin és la provabilitat de que siga una chica? La resposta correcta es pot trobar usant el Teorema de Bayes.

L'event A és que l'estudiant observat siga una chica, mentres que l'event B és que l'estudiant observat du pantalons. Per a trobar P(A|B), primer necessitem saber:

• P(A), o la provabilitat de que l'estudiant siga una chica a pesar de qualsevol atra informació. Ya que l'observador veu un estudiant aleatori, i ya que tots els estudiants tenen la mateixa provabilitat de ser observats, i el percentage de chiques entre els estudiants és el 40%, esta provabilitat és 0,4.
• P(A'), o la provabilitat de que l'estudiant observat siga un chic a pesar de qualsevol atra informació (A' és el complementari de l'event A). Açò és el 60%, o 0,6.
• P(B|A), o la provabilitat de que l'estudiant duga pantalons sent una chica. Com tenen la mateixa provabilitat de dur falda o pantalons, açò és 0,5.
• P(B|A'), o la provabilitat de que l'estudiant duga pantalons sent un chic. Açò és 1.
• P(B), o la provabilitat de que un estudiant (aleatori) duga pantalons. Ya que P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A'), açò és 0,5×0,4 + 1×0,6 = 0,8.

Donats totes estes senyes, la provabilitat de que l'observador hi haja vist una chica havent observat que du pantalons pot ser calculada substituint estos valors en la fòrmula:

$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{0,5\times 0,4}{0,8}=0,25.$

Vore també

• Epistemologia bayesiana