Distribució hipergeométrica

En teoria de la provabilitat i estadística, la distribució hipergeométrica és una distribució de provabilitat discreta relacionada en mostrejos aleatoris i sense tongada. Suponga que es té una població de $N$ elements dels quals, $K$ pertanyen a la categoria $A$ i $N - K$ pertanyen a la categoria $B$ . La distribució hipergeométrica medix la provabilitat d'obtindre $x$ ( $0 \leq x \leq K$ ) elements de la categoria $A$ en una mostra sense tongada de $n$ elements de la població original.

Definició

Funció de provabilitat

Una variable aleatòria discreta $X$ té una distribució hipergeométrica en paràmetros $N = 0, 1, \dots$ , $K = 0, 1, \dots, N$ i $n = 0, 1, \dots, N$ i escrivim $X \sim HG (N, K, n)$ si el seu funció de provabilitat és

P [X = x] = \frac{(\binom{K}{x}) (\binom{N - K}{n - x})}{(\binom{N}{n})},

per a valors de $x$ compresos entre $\max {0, n - N + K}$ i $\min {K, n}$ ; a on $N$ és el tamany de població, $n$ és el tamany de la mostra extreta, $K$ és el número d'elements en la població original que pertanyen a la categoria desijada i $x$ és el número d'elements en la mostra que pertanyen a dita categoria.

La notació

(\binom{b}{a}) = \frac{b!}{a! (b - a)!}

fa referència al coeficient binomial, és dir, el número de combinacions possibles en seleccionar $a$ elements d'un total $b$ .

Fòrmula recursiva

Si $X \sim HG (N, K, n)$ llavors pot demostrar-se que

\begin{matrix} P [X = x + 1] & = \frac{(K - x) (n - x)}{(x + 1) (N - K - n + x - 1)} P [X = x] \end{matrix}

Propietats

Si $X \sim HG (N, K, n)$ llavors $X$ complix algunes propietats:

El valor esperat de la variable aleatòria $X$ és

E [X] = \frac{n K}{N}

i el seu varianza està donada per

Var [X] = \frac{n K}{N} (\frac{N - K}{N}) (\frac{N - n}{N - 1})

La distribució hipergeométrica és aplicable a mostrejos sense tongada i la binomial a mostrejos en tongada. En situacions en les que el número esperat de repeticions en el mostreig és presumiblement baix, pot aproximar-se la primera per la segona. Açò és aixina quan N és gran i el tamany relatiu de la mostra extreta, n/N, és menut.

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Distribución hipergeométrica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.