Hipérbola unitària

Archiu:Drini-conjugatehyperbolas.svg

L'hipérbola unitària és blava, la seua conjugada és verda i les asíntotes són roges

En geometria, la hipérbola unitària és el conjunt de punts $(x,y)$ en coordenades cartesianas que satisfan la funció implícita $x^2-y^2=1.$ En l'estudi dels grups ortogonals indefinits, l'hipérbola unitària servix de base per a establir una llongitut radial alternativa

$r=\sqrt{x^2-y^2}.$

Mentres que la circumferència goniométrica rodeja el seu centre, l'hipérbola unitària requerix de la seua hipérbola conjugada $y^2-x^2=1$ per a complementar-la en el pla. Este parell d'hipérboles compartixen les asíntotas $y=x$ i $y=-x$. Quan s'utilisa el conjugat de l'hipérbola unitària, la llongitut radial alternativa és

$r=\sqrt{y^2-x^2}.$

L'hipérbola unitària és un cas especial d'hipérbola, en una orientació, localisació i escala en particular. Com a tal, el seu excentricitat és igual a $\sqrt{2}.$

En geometria analítica, troba aplicació en aquelles relacions en les que el círcul deu reemplaçar-se per una hipérbola. Un eixemple destacat és la representació d'espai-temps com espai pseudo-euclídeo. Allí, les asíntotes de l'hipérbola unitària s'interpreten com un con de llum. Ademés, l'estudi de les àrees de sectors hiperbòlics portat a terme per Grégoire de Saint-Vincent va permetre la formalisació de la funció logarítmica i la parametrización moderna de l'hipérbola per àrees de sector. Quan s'entenen les nocions de hiperbolas conjugades i ànguls hiperbòlics, els número complejo clàssics, que es construïxen al voltant del círcul unitari, poden reemplaçar-se per números construïts al voltant de l'hipérbola unitària.

Asíntotes

Artícul principal → Asíntota.

En general, es diu que les llínees asintòtiques a una curva convergixen cap a la curva. En geometria algebraica i en la teoria de curves algebraiques es pren un enfocament diferent de les asíntotes. En primer lloc, la curva s'interpreta en el pla proyectivo utilisant coordenades homogénees. En conseqüència, les asíntotes són llínees que són tangentes a la curva proyectiva en un punt de l'infinit, evitant aixina qualsevol necessitat dels conceptes de distància i convergència. En un sistema de referència comuna, (x, i, z) són coordenades homogénees en la recta de l'infinit determinada per l'equació z=0. Per eixemple, C. G. Gibson va escriure:

Per a l'hipérbola rectángula estàndar $f=x^2-y^2-1$ en ℝ², la curva proyectiva corresponent és $F=x^2-y^2-z^2,$ que complix en z = 0 en els punts P = (1: 1: 0) i Q = (1 : −1: 0). Tant P com a Q són simple en F, en tangentes x+i=0, x−i=0; aixina, es recuperen les familiars asíntotes de la geometria elemental.

Diagrama de Minkowski

Artícul principal → Diagrama de Minkowski.

El diagrama de Minkowski es dibuixa en un pla d'espai-temps, a on l'aspecte espacial s'ha restringit a una sola dimensió. Les unitats de distància i temps en tal pla solen ser:

• Unitats de 30 centímetros de llongitut i nanosegundos, o
• Unitats astronòmiques i intervals de 8 minuts i 20 segons, o
• Anys llum i anys.

Cada una d'estes escales de coordenades dona com resultat conexions fotòniques d'events en rectes diagonals de pendent més un (+1) o menys un (-1).

Cinc elements constituïxen el diagrama utilisat per Hermann Minkowski per a descriure les transformacions de la relativitat: l'hipérbola unitària, la seua hipérbola conjugada, els eixos de l'hipérbola, un diàmetro de l'hipérbola unitària i el diàmetro conjugat.

El pla en els eixos es referix a un sistema de referència en repòs. El diàmetro de l'hipérbola unitària representa un marc de referència en moviment en rapidea a, a on tanh a = i/x; i ademés (x, i) és el punt final del diàmetro en l'hipérbola unitària. El diàmetro conjugat representa el "hiperplano espacial de la simultaneidad" corresponent a la rapidea a.

En este context, l'hipérbola unitària és una hipérbola de calibración. Comunament, en l'estudi de relativitat, l'hipérbola en eix vertical es pren com a primària:

La flecha del temps va des de la part inferior a la part superior de la figura, una convenció adoptada per Richard Feynman en els seus famosos diagrames. L'espai està representat per plans perpendiculars a l'eix del temps. L'ací i l'ara és una singularitat en el mig.

La convenció de l'eix de temps vertical prové de Minkowski en 1908, i també s'ilustra en la pàgina 48 de "La naturalea del món físic" de Eddington (1928).