Escalat (geometria)

Distints tipos d'escalat de la forma blava, produïxen les diferents formes de color taronja: 1) Aument uniforme 2) Aplanamiento 3) Cisallament 4) Reducció uniforme

En geometria euclidiana, el escalat uniforme (o escalat isótropo) és una aplicació llineal que aumenta (incrementa) o contrau (disminuïx) el tamany de distintes entitats (com a formes o figures geomètriques) per mig d'un factor d'escala que és el mateix en totes direccions. El resultat d'un escalat uniforme és una relació de semblança (en el sentit geomètric) entre la figura original i la seua image. Normalment també es consideren com a aplicacions d'escalat les que posseïxen factor d'escala 1, per lo que les formes congruents també es classifiquen com a semblants. L'escalat uniforme ocorre, per eixemple, en ampliar o reduir una fotografia, o en crear una maqueta d'un edifici, automòvil, avió, etc.

De forma més general, també es parla de escalat no uniforme (escalat anisótropo), aquell que s'obté quan a lo manco un dels factors d'escala aplicats a cada eix coordenado és diferent dels demés; un cas especial és el escalat direccional, cisallament, estiramiento o extrusió (en una direcció). L'escala no uniforme canvia la forma de l'objecte; per eixemple, un quadrat pot transformar-se en un rectàngul o en un paralelogramo si els costats del quadrat no són paralels als eixos d'escala (els ànguls entre llínees paraleles als eixos es conserven, pero no tots els ànguls). Ocorre, per eixemple, quan es veu un cartell lluntà des d'un àngul lateral, o quan l'ombra d'un objecte pla cau sobre una superfície que no és paralela a ell.

Quan el factor d'escala és major que 1, l'escalat (uniforme o no uniforme) a voltes també es denomina dilatació o ampliació. Quan el factor d'escala és un número positiu menor que 1, l'escalat a voltes també es diu contracció.

En el sentit més general, una escala inclou el cas en el que les direccions de escalamiento no són perpendiculars. També inclou el cas en el que un o més factors d'escala són iguals a zero (com en alguns casos de proyeccions), i el cas d'un o més factors d'escala negatius (una escala direccional per -1 és equivalent a una reflexió).

L'escalat és una aplicació llineal i un cas especial d'homotecia. En la majoria dels casos, les transformacions homotéticas són transformacions no llineals.

Representació matricial

Un escalat pot ser representat per una matriu d'escala. Per a escalar un objecte per un vector v = (v_x, v_i, v_z), cada punt p = (p_x, p_i, p_z) té que ser multiplicat per esta matriu d'escalat:

$S_v=\left[\begin{array}{ccc}{v}_x& 0& 0\\ 0& v_y& 0\\ 0& 0& v_z\end{array}\right].$

Com es mostra a continuació, la multiplicació donarà el resultat següent:

$S_{v}p=\left[\begin{array}{ccc}{v}_x& 0& 0\\ 0& v_y& 0\\ 0& 0& v_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}_x{p}_x\\ v_y{p}_y\\ v_z{p}_z\end{array}\right].$

Tal escalamiento canvia el diàmetro d'un objecte en una proporció situada entre els factors d'escala, l'àrea per un factor igual al producte del més chicotet i del més gran dels factors d'escala, i el volum pel producte dels tres.

L'escala és uniforme si i solament si els factors d'escala són iguals (v_x = v_i = v_z). Si tots menys un dels factors d'escala són iguals a 1, es té un escalat direccional.

En el cas de que v_x = v_i = v_z = k, l'escala aumenta l'àrea de qualsevol superfície per un factor de k² i el volum de qualsevol objecte sòlit per un factor de k³.

Escalat en dimensions arbitràries

En l'espai $n$-dimensional ${ℝ}^n$, l'escalat uniforme per un factor $v$ es realisa per mig de multiplicació escalar en $v$, és dir, multiplicant cada coordenada de cada punt per $v$. Com un cas especial de transformació llineal, també es pot conseguir multiplicant cada punt (vist com un vector columna) per una matriu diagonal les entrades de la qual en la diagonal són totes iguals a $v$, és dir, $vI$.

L'escalat no uniforme es conseguix multiplicant per qualsevol matriu simètrica. Els autovalores de la matriu són els factors d'escala, i els autovectores corresponents són els eixos en els que s'aplica cada factor d'escala. Un cas especial és una matriu diagonal, en números arbitraris $v_1,v_2,\dots v_n$ en la diagonal: els eixos d'escalat són llavors els eixos de coordenades, i la transformació s'escala en cada eix $i$ pel factor $v_i$.

En l'escalat uniforme en un factor d'escala distint de zero, tots els vectores distints de zero conserven la seua direcció (com es veuen des de l'orige), o tots tenen la direcció invertida, depenent del signe del factor d'escala. En l'escalat no uniforme, solament els vectores orientats com algun dels autovectores (coincidentes en els eixos principals de l'escalat) conservaran la seua direcció. Un vector que siga la suma de dos o més vectores distints de zero que pertanyen a diferents eixos principals, tendirà a inclinar-se cap al autovector en el autovalor més gran.

Usant coordenades homogénees

En geometria proyectiva, a sovint utilisada en computació gràfica, els punts es representen utilisant coordenades homogénees. Per a escalar un objecte per mig d'un vector v = (v_x, v_i, v_z), cada vector de coordenades homogénees p = (p_x, p_i, p_z, 1) deu ser multiplicat per esta matriu d'homografia:

$S_v=\left[\begin{array}{cccc}{v}_x& 0& 0& 0\\ 0& v_y& 0& 0\\ 0& 0& v_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

Com es mostra a continuació, la multiplicació donarà el resultat següent:

$S_{v}p=\left[\begin{array}{cccc}{v}_x& 0& 0& 0\\ 0& v_y& 0& 0\\ 0& 0& v_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{v}_x{p}_x\\ v_y{p}_y\\ v_z{p}_z\\ 1\end{array}\right].$

Com l'últim component d'una coordenada homogénea es pot vore com el denominador dels atres tres components, es pot conseguir una escala uniforme per un factor comú s (escalat uniforme) utilisant esta matriu d'escala:

$S_v=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{s}\end{array}\right].$

Per a cada vector p = (p_x, p_i, p_z, 1), es tindria

$S_{v}p=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{s}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\\ \frac{1}{s}\end{array}\right]$

que seria equivalent a

$\left[\begin{array}{c}s{p}_x\\ s{p}_y\\ s{p}_z\\ 1\end{array}\right].$

Vore també

• Escala (desambiguación)
• Escala (relació)
• Escala (cartografia)
• Escales de les maquetes
• Contracció (geometria)
• Cisallament (geometria)
• Transformació matricial