Teorema fonamental de la geometria de Riemann

En geometria de Riemann, la teorema fonamental de la geometria de Riemann establix que donat una varietat de Riemann (o una varietat seudoriemanniana) hi ha una única conexió lliure de torsió que preserva el tensor mètric. Tal conexió es diu conexió de Levi-Civita.

Més exactament:

Siga $(M,g)$ una varietat de Riemann (o varietat pseudoriemanniana) llavors hi ha una conexió única $\mathrm{\nabla }$ que satisfà les condicions següents:

1. per a qualssevol camps vectorials $X,Y,Z$ tenim $Xg(Y,Z)=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z)$, a on $Xg(Y,Z)$ denota la derivada de la funció $g(Y,Z)$ a lo llarc del camp vectorial $X$.
2. per a qualssevol camps vectorials $X,Y$ tenim ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$, a on $[X,Y]$ denota el corchete de Lie per als camps vectorials $X,Y$.

La prova tècnica següent presenta una fòrmula per als símbols de Christoffel de la conexió en un conjunt coordenado local. Per a una mètrica donada este conjunt d'equacions pot aplegar a ser alguna cosa complicat. Hi ha métodos més ràpits i més simples d'obtindre els símbols de Christoffel per a una mètrica donada, i.g. en l'integral d'acció i les equacions associades de Euler-Lagrange.

Demostració

Coordenades locals

En esta prova utilisem la notació d'Einstein.

Considere's el conjunt coordinat local $x^i,i=1,2,\mathrm{...},m=\dim (M)$ i denotem per ${𝐞}_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$ el camp dels marcs de base.

Els components $g_{ij}$ són número real del tensor mètric aplicat a una base, és dir

$g_{ij}\equiv 𝐠({𝐞}_i,{𝐞}_j)$

Per a especificar la conexió és suficient especificar els símbols de Christoffel ${\Gamma }_{ij}^k$.

ya que ${\Gamma }_{ij}^k$ són els camps coordenados vectorials tenim que

$[{𝐞}_i,{𝐞}_j]=\frac{{\partial }^2}{\partial x^j\partial x^i}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^i\partial x^j}=0$

per a tots i i j. Per lo tant la segona propietat és equivalent a

${\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_i}{𝐞}_j-{\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_j}{𝐞}_i=0,$ la qual cosa és equivalent a ${\Gamma }_{ij}^k={\Gamma }_{ji}^k$ per a tots els i, j i k.

La primera propietat de la conexió de Levi-Civita (dalt) llavors és equivalent a

$\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}={\Gamma }_{ki}^a{g}_{aj}+{\Gamma }_{kj}^a{g}_{ia}$.

Açò dona la relació única entre els símbols de Christoffel (que definixen la derivada covariant) i els components del tensor mètric.

Podem invertir esta equació i expressar els símbols de Christoffel en un chicotet truc, escrivint a esta equació tres voltes en una elecció pràctica dels índexs

$\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}=+{\Gamma }_{ki}^a{g}_{aj}+{\Gamma }_{kj}^a{g}_{ia}$

$\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}=+{\Gamma }_{ji}^a{g}_{ak}+{\Gamma }_{jk}^a{g}_{ia}$

$-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}=-{\Gamma }_{ij}^a{g}_{ak}-{\Gamma }_{ik}^a{g}_{ja}$

Sumant, la majoria dels térmens en el costat dret es cancelen i nos quedem en

$g_{ia}{\Gamma }_{kj}^a=\frac{1}{2}(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i})$

O en l'invers de $𝐠$, definit com (en la delta de Kronecker)

$g^{ki}{g}_{il}={\delta }_l^k$

escrivim els símbols de Christoffel com

${\Gamma }_{kj}^i=\frac{1}{2}{g}^{ia}(\frac{\partial g_{aj}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{ak}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^a})$

És dir els símbols de Christoffel (i per lo tant la derivada covariant) són determinats totalment per la mètrica, en les equacions que impliquen la derivada de la mètrica.

Formulació invariante

També es pot demostrar el resultat sense amprar coordenades locals, a partir de les propietats que determinen la conexió de Levi-Civita. Supongam que $\mathrm{\nabla }$ és una conexió tal que

${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y],$

i

$X(g(Y,Z))=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z),$

a on $X$, $Y$ i $Z$ són camps vectorials qualssevol. El càlcul abans fet en coordenades ara s'escriu

$\begin{array}{cc}X(g(Y,Z))& +Y(g(X,Z))-Z(g(X,Y))\\ & =(g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z))+(g({\mathrm{\nabla }}_{Y}X,Z)+g(X,{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z))-(g({\mathrm{\nabla }}_{Z}X,Y)+g(X,{\mathrm{\nabla }}_{Z}Y))\\ & =g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y+{\mathrm{\nabla }}_{Y}X,Z)+g({\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{Z}X,Y)+g({\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_{Z}Y,X)\\ & =g(2{\mathrm{\nabla }}_{X}Y+[Y,X],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X).\end{array}$

Açò es reduïx immediatament a l'identitat obtinguda per als símbols de Christoffel si prenem com $X$, $Y$ i $Z$ els camps vectorials associats localment a les coordenades. L'equació anterior pot ser reordenada per a obtindre la fòrmula (o identitat) de Koszul

$2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)=X(g(Y,Z))+Y(g(X,Z))-Z(g(X,Y))-g([Y,X],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).$

Açò demostra que, si existix una conexió en estes propietats, llavors és única, puix si $g(W,Z)$ és igual a $g(U,Z)$ per a qualsevol $Z$, llavors $U$ és igual a $W$, com a conseqüència de que la mètrica és no degenerada. En la formulació local de dalt, esta propietat clau de la mètrica es va usar quan prenem l'invers de la matriu que definix la mètrica. Ademés, pel mateix raonament, la fòrmula de Koszul es pot utilisar per a definir un camp vectorial ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$ per a $X$ i $Y$ daus, i és rutinari comprovar que $\mathrm{\nabla }$ aixina definida és una conexió que verifica les dos propietats enunciades.

Referències

• do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Riemannian geometry, Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc.. ISBN 0-8176-3490-8.