Teorema de Cartan–Hadamard

En matemàtiques, la teorema de Cartan-Hadamard és una idea important en geometria riemanniana. Bàsicament, nos diu cóm són certs espais geomètrics que tenen una "curvatura no positiva". Imagina una superfície que no es curva cap a fòra com una esfera, sino que es manté plana o es curva cap a dins com una cadira de montar. Esta teorema nos ajuda a entendre la forma general d'estos espais.

La teorema afirma que si tenim un espai d'este tipo (complet i en curvatura no positiva), podem "desenrollarlo" completament, com si fora una estora, i estendre-ho sobre un espai pla (un espai euclídeo, com un full de paper infinita, pero en més dimensions). Este "desenrollado" es fa usant una ferramenta matemàtica cridada aplicació exponencial.

Esta teorema va ser descoberta per primera volta per Hans Carl Friedrich von Mangoldt para superfícies (com la cadira de montar que mencionem) en 1881. Jacques Hadamard també ho va demostrar de forma independent en 1898. Després, Élie Cartan ho va estendre a espais més generals (varietats riemannianas) en 1928 (Helgason 1978;do Carmo 1992;Kobayashi & Nomizu 1969). Més vesprada, Mijaíl Grómov va trobar una versió encara més general de la teorema per a atres tipos d'espais, no solament els geomètrics "suaus" (Ballmann (1990);Alexander y Bishop (1990)).

Geometria riemanniana

En la geometria riemanniana (que estudia espais curvos "suaus"), la teorema de Cartan-Hadamard diu lo següent: si tens un espai geomètric complet (sense "forats" ni "vores"), conexo (d'una sola peça) i en curvatura no positiva (com la cadira de montar), llavors pots "desenrollarlo" sobre un espai pla de la mateixa dimensió (Rⁿ).

Més tècnicament, l'espai recubridor universal (que és com una versió "desenrollada" de l'espai original) és difeomorfo a Rⁿ. Açò significa que hi ha una forma suau i reversible de transformar l'espai "desenrollado" en l'espai pla. l'aplicació exponencial és la ferramenta que nos permet fer esta transformació. Pensa en l'aplicació exponencial com un mapa que et diu cóm "caminar" en llínea recta en l'espai curve.

Esta teorema també funciona per a espais encara més generals, cridats varietats de Hilbert (McAlpin 1965;Lang 1999, IX, §3).

Geometria mètrica

En geometria mètrica (que estudia espais a on solament sabem medir distàncies), la teorema de Cartan-Hadamard nos dona una idea similar. Si tenim un espai mètric complet (sense "forats"), conexo (d'una sola peça) i en curvatura no positiva, llavors la seua recubridor universal (la versió "desenrollada") és un espai de Hadamard.

Un espai de Hadamard és un tipo especial d'espai a on, entre atres coses, dos punts qualssevol sempre estan conectats per una única llínea recta (geodèsica) més curta. Açò significa que si l'espai original és simplement conexo (és dir, no té "forats" que pugues rodejar en un llaç), llavors és un espai geodèsic i, ademés, és contràctil (pots "esclafar-ho" contínuament fins a convertir-ho en un sol punt).

Pero, ¿qué significa que un espai mètric tinga "curvatura no positiva"? Imagina tres punts en l'espai, z, a i b, que formen un triàngul. Ara, troba el punt mig m del segment que unix a i b. Si la distància de z a m és menor o igual* que lo que obtindries en un triàngul pla en els mateixos costats, llavors l'espai té curvatura no positiva (a lo manco en eixa menuda regió).

Més formalment, si γ és una geodèsica (camí més curt) que va de a = γ(0) a b = γ(1), i m = γ(1/2) és el punt mig, llavors:

$d(z,\gamma (1/2){)}^2\le \frac{1}{2}d(z,\gamma (0){)}^2+\frac{1}{2}d(z,\gamma (1){)}^2-\frac{1}{4}d(\gamma (0),\gamma (1){)}^2.$

Esta desigualtat, cridada condició CAT(0), és una forma de dir que els triànguls en este espai són "més prims" que els triànguls en un espai pla.

Generalisació a espais localment convexos

Inclús podem relaixar una miqueta més la condició de "curvatura no positiva" Plantilla:Harv. En lloc de demanar que els triànguls siguen "més prims" que en l'espai pla, podem demanar simplement que la distància entre dos geodèsiques siga una funció convexa. Açò significa que si et mous a lo llarc de dos geodèsiques al mateix temps, la distància entre elles mai aumenta més ràpit de lo que ho faria en un espai pla.

Si un espai mètric és conexo (d'una sola peça), complet (sense "forats") i localment convexo (esta condició de la distància entre geodèsiques es complix en una menuda regió al voltant de cada punt), llavors el seu recubridor universal és un espai geodèsic convexo. I, com abans, açò implica que el recubridor universal és contràctil (es pot "esclafar" fins a un punt).

Vore també

• Anex:Glossari de la geometria de Riemann
• Varietat de Cartan–Hadamard
• Conjectura de Cartan–Hadamard

Referències

• (1965).«Infinite dimensional manifolds and Morse theory».Thesis.Columbia University..
• .
• Ballmann, Werner. «Singular Spaces of Senar-Positive Curvature», Sur els Groupes Hyperboliques d’après Mikhael Gromov (vol. 83), Boston, MA: Birkhäuser.
• .
• .
• .
• .
• .
• (1999).«Fundamentals of differential geometry».Springer-Verlag.Berlin, New York:191.