Contracció tensorial

En àlgebra multilineal, una contracció tensorial (o contracció d'un tensor) és una operació sobre un tensor que sorgix del emparejamiento canònic d'un espai vectorial i del seu espai dual. En components, s'expressa com una suma de productes de components escalares dels tensors generats en aplicar el conveni de suma d'Einstein a un parell d'índexs ficticis que estan units entre sí en una expressió. La contracció d'un sol tensor mixt es produïx quan un parell d'índexs lliterals (un com a subíndex i l'atre com a superíndex) del tensor s'igualen entre sí i se sumen. En la notació d'Einstein esta suma està integrada en la pròpia notació. El resultat és un atre tensor en l'orde reduït en 2.

La contracció tensorial pot vore's com una generalisació del concepte de traça.

Formulació abstracta

Siga V un espai vectorial sobre un cos k. El núcleu de l'operació de contracció, i el cas més simple, és el emparejamiento canònic de V en la seua espai vectorial dual V^∗. El emparejamiento és l'aplicació llineal del producte tensorial d'estos dos espais sobre el cos k:

$C:V\otimes V^{*}\to k$

corresponent a la forma bilineal

$⟨v,f⟩=f(v)$

a on f està en V^∗ i v està en V. L'aplicació C definix l'operació de contracció en un tensor de tipo (1, 1), que és un element de $V\otimes V^{*}$. Tinga's en conte que el resultat és un escalar (un element de k). En dimensió finita, utilisant l'isomorfisme natural entre $V\otimes V^{*}$ i l'espai de l'aplicació llineal de V sobre V, s'obté una definició sense base de la traça.

En general, un tensor de tipo (m, n) (en m ≥ 1 i n ≥ 1) és un element de l'espai vectorial

$V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}$

(a on hi ha m factors V i n factors V^∗). Aplicant el emparejamiento canònic al késimo factor V i al lésimo factor V^∗, i utilisant l'identitat en tots els demés factors, es definix l'operació de contracció (k, l), que és una aplicació llineal que produïx un tensor de tipo (m − 1, n − 1). Per analogia en el cas (1, 1), l'operació de contracció general a voltes es denomina traça.

Contracció en la notació d'índexs

En notació tensorial indexada, la contracció bàsica d'un vector i un vector dual es denota per

$\tilde{f}(\overrightarrow{v})=f_{\gamma }{v}^{\gamma },$

que és una abreviatura de la suma de coordenades explícita

$f_{\gamma }{v}^{\gamma }=f_1{v}^1+f_2{v}^2+\cdots +f_n{v}^n$

(a on vⁱ són els components de v en una base particular i f_i són els components de f en la base dual corresponent).

Ya que un tensor diàdic mixt general és una combinació llineal de tensors descomponibles de la forma $f\otimes v$, la fòrmula explícita per al cas diàdic és la següent:

$𝐓=T_j^i{𝐞}_i\otimes {𝐞}^j$

que és un tensor diàdic mixt. Llavors la seua contracció és

$T_j^i{𝐞}_i\cdot {𝐞}^j=T_j^i{\delta }_i{}^j=T_j^j=T_1^1+\cdots +T_n^n$.

Una contracció general es denota etiquetant un índex covariant i un índex contravariante en la mateixa lletra, la suma d'eixe índex està implícita en el conveni de suma d'Einstein. El tensor contret resultant hereta els índexs restants del tensor original. Per eixemple, contraure un tensor T de tipo (2,2) en el segon i tercer índex per a crear un nou tensor O de tipo (1,1) s'escriu com

$T^{ab}{}_{bc}=\sum _b{T}^{ab}{}_{bc}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^a{}_c.$

Pel contrari, siga

$𝐓={𝐞}^i\otimes {𝐞}^j$

un tensor diàdic no mixt. Este tensor no es contrau; si els seus vectores base són punteados, el resultat és el tensor mètric contravariante,

$g^{ij}={𝐞}^i\cdot {𝐞}^j$,

el ranc del qual és 2.

Vore també

• Producte tensorial
• Traça parcial
• Producte interior
• Llei de pujar o baixar índexs (tensors)
• Isomorfisme musical
• Càlcul de Ricci

Bibliografia

• Bishop, Richard L. (1980). Tensor Analysis on Manifolds, New York: Dover. ISBN 0-486-64039-6.
• Menzel, Donald H. (1961). Mathematical Physics, New York: Dover. ISBN 0-486-60056-4.