Tensor diàdic

En matemàtiques, específicament en àlgebra multilineal, un tensor diàdic (també denominat simplement com a diàdic) és un tensor de segon orde representat en una notació d'acort en l'àlgebra vectorial.^[1]

Introducció

Existixen numeroses formes de multiplicar dos vectorés. El producte escalar opera dos vectores i torna un escalar, mentres que el producte vectorial^[2] torna un vector axial. Abdós tenen vàries interpretacions geomètriques importants i s'utilisen àmpliament en matemàtiques, física i ingenieria. El producte diàdic pren dos vectores i torna un tensor de segon orde, denominat tensor diàdic, que es pot utilisar per a contindre informació física o geomètrica, encara que en general no existix una forma directa d'interpretar esta informació geomètricament.

El producte diàdic és distributivo respecte a l'adició de vectorés i associatiu sobre la multiplicació escalar. Per lo tant, el producte diàdic és llineal sobre abdós operacions. En general, es poden sumar dos tensors diàdics per a obtindre un atre tensor diàdic, i es pot multiplicar-los per un números per a escalar els seus components. No obstant, el producte de tensors diàdics no és conmutativo; canviar l'orde dels vectores dona com resultat tensors diàdics diferents.

El formalisme de l'àlgebra diàdica és una extensió de l'àlgebra vectorial per a incloure el producte diàdic de vectores. El producte diàdic també és associatiu en els productes escalar i vectorial sobre atres vectores, lo que permet combinar els productes escalar, vectorial i diàdic per a obtindre uns atres escalares, vectores o tensors diàdics.

També compartix alguns aspectes en l'àlgebra matricial, ya que els components numèrics dels vectores es poden organisar en vectores fila o en vectores columna, i els de tensors de segon orde en matrius quadrades. Ademés, els productes escalar, vectorial i diàdic es poden expressar en forma matricial. Les expressions diàdiques poden semblar-se molt als seus equivalents matriciales.

El producte escalar d'un tensor diàdic en un vector dona un atre vector, i en prendre el producte escalar d'este resultat s'obté un escalar derivat del tensor diàdic. L'efecte que té un tensor diàdic determinat sobre atres vectores pot proporcionar interpretacions físiques o geomètriques indirectes.

La notació diàdica va ser establida per primera volta per Josiah Willard Gibbs en 1884. La notació i la terminologia estan relativament obsoletes en l'actualitat. Els seus usos en física inclouen la mecànica de mijos continus i l'electromagnetisme.

En este artícul, les variables en mayúscules i negreta denoten tensors diàdics, mentres que les variables en minúscules i negreta denoten vectores. Una notació alternativa utilisa barres superiors o inferiors dobles i simples, respectivament.

Definicions i terminologia

Productes diàdic, extern i tensorial

Es denomina díada a un tensor d'orde dos i de ranc un, i és el producte diàdic de dos vectorés (vectores complexos en caràcter general), mentres que un diàdic és un tensor general d'orde dos (que pot ser de ranc complet o no).

Existixen varis térmens i notacions equivalents per a este producte:

El producte diàdic de dos vectores $𝐚$ i $𝐛$ es denota per $𝐚 𝐛$ (yuxtapost; sense símbols intermijos com a signes de multiplicació, creus, punts o uns atres)
El producte extern de dos vectores columna, $𝐚$ i $𝐛$ , s'indica i definix com $𝐚 \otimes 𝐛$ o $𝐚 𝐛^{𝖳}$ , a on ^T significa que es tracta d'un vector transpuesto
El producte tensorial de dos vectores $𝐚$ i $𝐛$ es denota com $𝐚 \otimes 𝐛$

En el context diàdic, tots tenen la mateixa definició i significat, i s'usen com a sinònims, encara que la denominació producte tensorial és un eixemple de l'us més general i abstracte del terme.

Espai euclídeo tridimensional

Per a ilustrar l'us del producte, considere's l'espai euclídeo tridimensional, fent que

\begin{matrix} 𝐚 & = a_{1} 𝐢 + a_{2} 𝐣 + a_{3} 𝐤 \\ 𝐛 & = b_{1} 𝐢 + b_{2} 𝐣 + b_{3} 𝐤 \end{matrix}

siguen dos vectores, en els que i, j, k (també denominats i₁, i₂, i₃) són una base estàndar en este espai vectorial (vore també coordenades cartesianas). Llavors, el producte diàdic de a i b es pot representar com una suma de components:

\begin{matrix} 𝐚 𝐛 = & a_{1} b_{1} 𝐢 𝐢 + a_{1} b_{2} 𝐢 𝐣 + a_{1} b_{3} 𝐢 𝐤 \\ + & a_{2} b_{1} 𝐣 𝐢 + a_{2} b_{2} 𝐣 𝐣 + a_{2} b_{3} 𝐣 𝐤 \\ + & a_{3} b_{1} 𝐤 𝐢 + a_{3} b_{2} 𝐤 𝐣 + a_{3} b_{3} 𝐤 𝐤 \end{matrix}

o per extensió de vectores fila i columna, una matriu d'orde 3×3 (també el resultat del producte exterior o producte tensorial de a i b):

𝐚 𝐛 \equiv 𝐚 \otimes 𝐛 \equiv {𝐚 𝐛}^{𝖳} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} \\ a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3} \end{matrix}) .

Una díada és un component d'un tensor diàdic (un monomi de la suma o, equivalentemente, una entrada de la matriu): el producte diàdic d'un parell de bases multiplicat escalarmente per un número.

Aixina, com els vectores de la base estàndar (i unitaris) i, j, k, tenen les representacions:

\begin{matrix} 𝐢 & = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), & 𝐣 & = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), & 𝐤 & = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}

(que es poden transponer), les díadas de base estàndar (i unitat) tenen la representació:

\begin{matrix} 𝐢 𝐢 & = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), & 𝐢 𝐣 & = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), & 𝐢 𝐤 & = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \\ 𝐣 𝐢 & = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), & 𝐣 𝐣 & = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), & 𝐣 𝐤 & = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \\ 𝐤 𝐢 & = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}), & 𝐤 𝐣 & = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), & 𝐤 𝐤 & = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

A continuació es facilita un eixemple numèric simple en la base estàndar:

\begin{matrix} 𝐀 & = 2 𝐢 𝐣 + \frac{\sqrt{3}}{2} 𝐣 𝐢 - 8 π 𝐣 𝐤 + \frac{2 \sqrt{2}}{3} 𝐤 𝐤 \\ = 2 (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + \frac{\sqrt{3}}{2} (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) - 8 π (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + \frac{2 \sqrt{2}}{3} (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 0 & 2 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - 8 π \\ 0 & 0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} \end{matrix}) \end{matrix}

Espai euclídeo de dimensió N

Si l'espai euclídeo és N-dimensional, i

\begin{matrix} 𝐚 & = \sum_{i = 1}^{N} a_{i} 𝐞_{i} = a_{1} 𝐞_{1} + a_{2} 𝐞_{2} + \dots + a_{N} 𝐞_{N} \\ 𝐛 & = \sum_{j = 1}^{N} b_{j} 𝐞_{j} = b_{1} 𝐞_{1} + b_{2} 𝐞_{2} + \dots + b_{N} 𝐞_{N} \end{matrix}

a on i_i i i_j són els vectores de la base canònica en N dimensions (l'índex i en i_i selecciona un vector, no un component del vector com en a_i), llavors en forma algebraica el seu producte diàdic és:

𝐚 𝐛 = \sum_{j = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{N} a_{i} b_{j} 𝐞_{i} 𝐞_{j} .

Açò es coneix com la "forma noión" d'un tensor diàdic. El seu producte extern/tensor en forma matricial és:

𝐚 𝐛 = {𝐚 𝐛}^{𝖳} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{N} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{N} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \dots & a_{1} b_{N} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \dots & a_{2} b_{N} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{N} b_{1} & a_{N} b_{2} & \dots & a_{N} b_{N} \end{matrix}) .

Un polinomi diàdic A, també conegut com a diàdic, es forma a partir de múltiples vectores ai i b_j:

𝐀 = \sum_{i} 𝐚_{i} 𝐛_{i} = 𝐚_{1} 𝐛_{1} + 𝐚_{2} 𝐛_{2} + 𝐚_{3} 𝐛_{3} + \dots

Un diàdic que no pot reduir-se a una suma de menys de N díadas es diu que és complet. En este cas, els vectores que ho formen no són coplanarios (vore Chen (1983)).

Classificació

La següent taula classifica els tensors diàdics:

	Determinant	Matriu d'adjunts	Matriu i les seues rancs
Zero	= 0	= 0	= 0; ranc 0: tot zeros
Llineal	= 0	= 0	≠ 0; ranc 1: a lo manco un element distint de zero i tots els subdeterminantes d'orde 2 × 2 zero (diàdic únic)
Pla	= 0	≠ 0 (diàdic simple)	≠ 0; ranc 2: A lo manco un subdeterminante d'orde 2 × 2 distint de zero
Complet	≠ 0	≠ 0	≠ 0; ranc 3: determinant no nul

Identitats

Les següents identitats són conseqüència directa de la definició del producte tensorial:^[3]

Àlgebra diàdica

Producte de tensor diàdic i vector

Hi ha quatre operacions definides sobre un vector i diàdiques, construïdes a partir dels productes definits sobre vectores.

	Esquerra	Dreta
Producte escalar	$𝐜 \cdot (𝐚 𝐛) = (𝐜 \cdot 𝐚) 𝐛$	$(𝐚 𝐛) \cdot 𝐜 = 𝐚 (𝐛 \cdot 𝐜)$
Producte vectorial	$𝐜 \times (𝐚 𝐛) = (𝐜 \times 𝐚) 𝐛$	$(𝐚 𝐛) \times 𝐜 = 𝐚 (𝐛 \times 𝐜)$

Producte de tensor diàdic i tensor diàdic

Hi ha cinc operacions d'un tensor diàdic en un atre tensor diàdic. Sean a, b, c, d vectores reals. Llavors:

		Producte escalar	Producte vectorial
Producte escalar	Producte escalar $\begin{matrix} (𝐚 𝐛) \cdot (𝐜 𝐝) & = 𝐚 (𝐛 \cdot 𝐜) 𝐝 \\ = (𝐛 \cdot 𝐜) 𝐚 𝐝 \end{matrix}$	Producte escalar doble $\begin{matrix} (𝐚 𝐛)_{\cdot}^{\cdot} (𝐜 𝐝) & = 𝐜 \cdot (𝐚 𝐛) \cdot 𝐝 \\ = (𝐚 \cdot 𝐜) (𝐛 \cdot 𝐝) \end{matrix}$ i $𝐚 𝐛 \underline{_{\cdot}^{\cdot}} 𝐜 𝐝 = (𝐚 \cdot 𝐝) (𝐛 \cdot 𝐜)$	Producte escalar vectorial $(𝐚 𝐛)_{\cdot}^{\times} (𝐜 𝐝) = (𝐚 \cdot 𝐜) (𝐛 \times 𝐝)$
Vectorial	Plantilla:Cela	Producte vectorial escalar $(𝐚 𝐛)_{\times}^{\cdot} (𝐜 𝐝) = (𝐚 \times 𝐜) (𝐛 \cdot 𝐝)$	Producte vectorial doble $(𝐚 𝐛)_{\times}^{\times} (𝐜 𝐝) = (𝐚 \times 𝐜) (𝐛 \times 𝐝)$

Sean

𝐀 = \sum_{i} 𝐚_{i} 𝐛_{i}, 𝐁 = \sum_{j} 𝐜_{j} 𝐝_{j}

dos diàdics generals. Llavors:

		Producte escalar	Producte vectorial
Producte escalar	Producte escalar $𝐀 \cdot 𝐁 = \sum_{i, j} (𝐛_{i} \cdot 𝐜_{j}) 𝐚_{i} 𝐝_{j}$	Producte escalar doble $\begin{matrix} 𝐀_{\cdot}^{\cdot} 𝐁 & = \sum_{i, j} (𝐚_{i} \cdot 𝐜_{j}) (𝐛_{i} \cdot 𝐝_{j}) \end{matrix}$ i $\begin{matrix} 𝐀 \underline{_{\cdot}^{\cdot}} 𝐁 & = \sum_{i, j} (𝐚_{i} \cdot 𝐝_{j}) (𝐛_{i} \cdot 𝐜_{j}) \end{matrix}$	Producte escalar vectorial $𝐀_{\cdot}^{\times} 𝐁 = \sum_{i, j} (𝐚_{i} \cdot 𝐜_{j}) (𝐛_{i} \times 𝐝_{j})$
Vectorial	Plantilla:Cela	Producte vectorial escalar $𝐀_{\times}^{\cdot} 𝐁 = \sum_{i, j} (𝐚_{i} \times 𝐜_{j}) (𝐛_{i} \cdot 𝐝_{j})$	Producte vectorial doble $𝐀_{\times}^{\times} 𝐁 = \sum_{i, j} (𝐚_{i} \times 𝐜_{j}) (𝐛_{i} \times 𝐝_{j})$

Producte escalar doble

La primera definició del producte escalar doble és el producte interior de Frobenius,

\begin{matrix} tr (𝐀 𝐁^{𝖳}) & = \sum_{i, j} tr (𝐚_{i} 𝐛_{i}^{𝖳} 𝐝_{j} 𝐜_{j}^{𝖳}) \\ = \sum_{i, j} tr (𝐜_{j}^{𝖳} 𝐚_{i} 𝐛_{i}^{𝖳} 𝐝_{j}) \\ = \sum_{i, j} (𝐚_{i} \cdot 𝐜_{j}) (𝐛_{i} \cdot 𝐝_{j}) \\ = 𝐀_{\cdot}^{\cdot} 𝐁 \end{matrix}

Ademés, ya que,

\begin{matrix} 𝐀^{𝖳} & = \sum_{i, j} {(𝐚_{i} 𝐛_{j}^{𝖳})}^{𝖳} \\ = \sum_{i, j} 𝐛_{i} 𝐚_{j}^{𝖳} \end{matrix}

s'entén que

𝐀_{\cdot}^{\cdot} 𝐁 = 𝐀 \underline{_{\cdot}^{\cdot}} 𝐁^{𝖳}

i llavors la segona definició possible del producte escalar doble és com la primera, pero en una transposició adicional en el segon diàdic. Per estes raons, es preferix la primera definició del producte escalar doble, encara que alguns autors encara utilisen la segona.

Producte vectorial doble

Es pot vore que, per a qualsevol díada formada a partir de dos vectores a i b, el seu producte vectorial doble és zero.

(𝐚 𝐛)_{\times}^{\times} (𝐚 𝐛) = (𝐚 \times 𝐚) (𝐛 \times 𝐛) = 0

No obstant, per definició, un producte diàdic vectorial doble sobre sí mateixa generalment serà distint de zero. Per eixemple, un tensor diàdic A compost de sis vectores diferents

𝐀 = \sum_{i = 1}^{3} 𝐚_{i} 𝐛_{i}

té un producte vectorial doble per sí mateixa distint de zero:

𝐀_{\times}^{\times} 𝐀 = 2 [(𝐚_{1} \times 𝐚_{2}) (𝐛_{1} \times 𝐛_{2}) + (𝐚_{2} \times 𝐚_{3}) (𝐛_{2} \times 𝐛_{3}) + (𝐚_{3} \times 𝐚_{1}) (𝐛_{3} \times 𝐛_{1})]

Contracció tensorial

Artícul principal → Contracció tensorial.

El estímul o factor d'expansió sorgix de l'expansió formal del diàdic en una base de coordenades reemplaçant cada producte diàdic per un producte escalar de vectores:

\begin{matrix} | 𝐀 | = & A_{11} 𝐢 \cdot 𝐢 + A_{12} 𝐢 \cdot 𝐣 + A_{13} 𝐢 \cdot 𝐤 \\ + & A_{21} 𝐣 \cdot 𝐢 + A_{22} 𝐣 \cdot 𝐣 + A_{23} 𝐣 \cdot 𝐤 \\ + & A_{31} 𝐤 \cdot 𝐢 + A_{32} 𝐤 \cdot 𝐣 + A_{33} 𝐤 \cdot 𝐤 \\ = & A_{11} + A_{22} + A_{33} \end{matrix}

en notació indexada, esta és la contracció d'índexs en el tensor diàdic:

| 𝐀 | = \sum_{i} A_{i}^{i}

Solament en tres dimensions sorgix el factor de rotació en reemplaçar cada producte diàdic per un producte vectorial

\begin{matrix} ⟨ 𝐀 ⟩ = & A_{11} 𝐢 \times 𝐢 + A_{12} 𝐢 \times 𝐣 + A_{13} 𝐢 \times 𝐤 \\ + & A_{21} 𝐣 \times 𝐢 + A_{22} 𝐣 \times 𝐣 + A_{23} 𝐣 \times 𝐤 \\ + & A_{31} 𝐤 \times 𝐢 + A_{32} 𝐤 \times 𝐣 + A_{33} 𝐤 \times 𝐤 \\ = & A_{12} 𝐤 - A_{13} 𝐣 - A_{21} 𝐤 \\ + & A_{23} 𝐢 + A_{31} 𝐣 - A_{32} 𝐢 \\ = & (A_{23} - A_{32}) 𝐢 + (A_{31} - A_{13}) 𝐣 + (A_{12} - A_{21}) 𝐤 \end{matrix}

En notació indexada, esta és la contracció de A en el tensor de Levi-Civita

⟨ 𝐀 ⟩ = \sum_{j k} {ϵ_{i}}^{j k} A_{j k} .

Unitat diàdica

Existix una unitat diàdica, denotada per I, tal que, per a qualsevol vector a,

𝐈 \cdot 𝐚 = 𝐚 \cdot 𝐈 = 𝐚

Donada una base de 3 vectores a, b i c, en la base recíproca $\hat{𝐚}, \hat{𝐛}, \hat{𝐜}$ , l'unitat diàdica s'expressa per

𝐈 = 𝐚 \hat{𝐚} + 𝐛 \hat{𝐛} + 𝐜 \hat{𝐜}

En la base estàndar (per a les definicions de i, j, k consulte's la secció anterior Espai euclídeo tridimensional),

𝐈 = 𝐢 𝐢 + 𝐣 𝐣 + 𝐤 𝐤

Explícitament, el producte escalar per la dreta de l'unitat diàdica és

\begin{matrix} 𝐈 \cdot 𝐚 & = (𝐢 𝐢 + 𝐣 𝐣 + 𝐤 𝐤) \cdot 𝐚 \\ = 𝐢 (𝐢 \cdot 𝐚) + 𝐣 (𝐣 \cdot 𝐚) + 𝐤 (𝐤 \cdot 𝐚) \\ = 𝐢 a_{x} + 𝐣 a_{y} + 𝐤 a_{z} \\ = 𝐚 \end{matrix}

i per l'esquerra

\begin{matrix} 𝐚 \cdot 𝐈 & = 𝐚 \cdot (𝐢 𝐢 + 𝐣 𝐣 + 𝐤 𝐤) \\ = (𝐚 \cdot 𝐢) 𝐢 + (𝐚 \cdot 𝐣) 𝐣 + (𝐚 \cdot 𝐤) 𝐤 \\ = a_{x} 𝐢 + a_{y} 𝐣 + a_{z} 𝐤 \\ = 𝐚 \end{matrix}

La matriu corresponent és

𝐈 = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Açò es pot plantejar sobre bases més cuidadoses (explicant lo que podria significar el contingut llògic de la notació yuxtaposta) utilisant el llenguage dels productes tensoriales. Si V és un espai vectorial de dimensió finita, un tensor diàdic en V és un tensor elemental en el tensor producte de V en la seua espai dual.

El producte tensorial de V i el seu espai dual és isomorfo a l'espai d'aplicacions llineals de V sobre V: un tensor diàdic vf és simplement una aplicació llineal que envia qualsevol w en V a f(w)v. Quan V és un espai euclídeo de dimensió n, es pot usar el producte intern per a identificar l'espai dual en el propi V, fent d'un tensor diàdic un producte tensorial elemental de dos vectores en l'espai euclídeo.

En este sentit, l'unitat diàdica ij és la funció de l'espai tridimensional sobre sí mateix enviant a₁i + a₂j + a₃k a a₂i, i jj envia esta suma a a₂ 'j. Ara es revela en quin sentit (precís) ii + jj + kk és l'identitat: envia a₁i + a₂j + a₃k sobre sí mateixa, perque el seu efecte és sumar cada vector unitari en la base estàndar escalada pel coeficient del vector en eixa base.

Propietats dels tensors diàdics unitaris

\begin{matrix} (𝐚 \times 𝐈) \cdot (𝐛 \times 𝐈) & = 𝐛 𝐚 - (𝐚 \cdot 𝐛) 𝐈 \\ 𝐈_{\times}^{\cdot} (𝐚 𝐛) & = 𝐛 \times 𝐚 \\ 𝐈_{\times}^{\times} 𝐀 & = (𝐀_{\cdot}^{\cdot} 𝐈) 𝐈 - 𝐀^{𝖳} \\ 𝐈_{\cdot}^{\cdot} (𝐚 𝐛) & = (𝐈 \cdot 𝐚) \cdot 𝐛 = 𝐚 \cdot 𝐛 = t r (𝐚 𝐛) \end{matrix}

a on tr denota la traça.

Eixemples

Proyecció i reyección de vectores

Un vector a distint de zero sempre es pot dividir en dos components perpendiculars, una paralela (‖) a la direcció d'un vector unitari n i una atra perpendicular (⊥) a ell;

𝐚 = 𝐚_{∥} + 𝐚_{⊥}

La component paralela es troba per mig de la proyecció vectorial, que és equivalent al producte escalar de a pel tensor diàdic nn,

𝐚_{∥} = 𝐧 (𝐧 \cdot 𝐚) = (𝐧 𝐧) \cdot 𝐚

i la component perpendicular es troba a partir de la reyección vectorial, que és equivalent al producte escalar de a pel tensor diàdic I − nn,

𝐚_{⊥} = 𝐚 - 𝐧 (𝐧 \cdot 𝐚) = (𝐈 - 𝐧 𝐧) \cdot 𝐚

Rotació diàdica

Vore també: Notació axial-angular

Rotacions 2d

El tensor diàdic

𝐉 = 𝐣 𝐢 - 𝐢 𝐣 = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

és un operador de rotació de 90° en sentit antihorario en 2d. Es pot puntear a l'esquerra en un vector r = xi + i'j per a produir el vector,

(𝐣 𝐢 - 𝐢 𝐣) \cdot (x 𝐢 + y 𝐣) = x 𝐣 𝐢 \cdot 𝐢 - x 𝐢 𝐣 \cdot 𝐢 + y 𝐣 𝐢 \cdot 𝐣 - y 𝐢 𝐣 \cdot 𝐣 = - y 𝐢 + x 𝐣,

en resum

𝐉 \cdot 𝐫 = 𝐫_{r o t}

o en notació matricial

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix}) .

Per a qualsevol àngul θ, el tensor diàdic de rotació 2d per a una rotació en sentit antihorario en el pla és

𝐑 = 𝐈 \cos θ + 𝐉 \sin θ = (𝐢 𝐢 + 𝐣 𝐣) \cos θ + (𝐣 𝐢 - 𝐢 𝐣) \sin θ = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})

a on I i J són com anteriorment, i la rotació de qualsevol vector 2d a = a_xi + a_ij és

𝐚_{r o t} = 𝐑 \cdot 𝐚

Rotacions 3d

Es pot realisar una rotació general 3d d'un vector a, al voltant d'un eix en la direcció del vector unitari ω i en sentit antihorario a través de l'àngul θ, usant la fòrmula de rotació de Rodrigues en forma diàdica

𝐚_{r o t} = 𝐑 \cdot 𝐚,

a on el tensor diàdic de rotació és

𝐑 = 𝐈 \cos θ + 𝜴 \sin θ + 𝝎 𝝎 (1 - \cos θ),

i les entrades cartesianas de ω també formen les del tensor diàdic

𝜴 = ω_{x} (𝐤 𝐣 - 𝐣 𝐤) + ω_{y} (𝐢 𝐤 - 𝐤 𝐢) + ω_{z} (𝐣 𝐢 - 𝐢 𝐣),

L'efecte de Ω sobre a és el producte vectorial

𝜴 \cdot 𝐚 = 𝝎 \times 𝐚

que és la forma diàdica del producte vectorial en un vector columna.

Transformació de Lorentz

En la teoria de la relativitat especial, la transformació de Lorentz en velocitat v en la direcció d'un vector unitari n es pot expressar com

t^{'} = γ (t - \frac{v 𝐧 \cdot 𝐫}{c^{2}})

𝐫^{'} = [𝐈 + (γ - 1) 𝐧 𝐧] \cdot 𝐫 - γ v 𝐧 t

a on

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

és el factor de Lorentz.

Térmens relacionats

Alguns autors generalisen el terme diàdic a conceptes relacionats com tríadico, tetrádico i poliádico.^[4]

Vore també

Referències

↑ J. Michael Finn (2009). Classical Mechanics, Jones & Bartlett Publishers, pp. 67 de 576. ISBN 9780763779603.
↑ El producte vectorial solament existix en espai prehilbertianos orientats en tres i sèt dimensions, i solament té propietats aprovechables en espais tridimensionals en producte intern. El producte exterior, una atra operació relacionada en el producte vectorial, existix per a tots els espais vectorials.
↑ Spencer (1992), page 19.
↑ Per eixemple, I. V. Lindell (2001). “Polyadic Methods in Elastodynamics”. Progress in Electromagnetics Research 31: 113–154. doi:10.2528/PIER00051701.

Bibliografia

P. Mitiguy. Vectors and dyadics. Capítul 2
(2009) Vector analysis, Schaum's outlines, McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
A.J.M. Spencer (1992). Continuum Mechanics, Dover Publications. ISBN 0-486-43594-6..

(1953).«Methods of theoretical physics, Volume 1».McGraw Hill Education.New York:

54—92..

Ismo V. Lindell (1996). Methods for Electromagnetic Field Analysis, Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6..
Hollis C. Chen (1983). Theory of Electromagnetic Wave - A Coordinate-free approach, McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8..
K. Cahill (2013). Physical Mathematics, Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Tensor diádico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[JMF-1] J. Michael Finn (2009). Classical Mechanics, Jones & Bartlett Publishers, pp. 67 de 576. ISBN 9780763779603.

[2] El producte vectorial solament existix en espai prehilbertianos orientats en tres i sèt dimensions, i solament té propietats aprovechables en espais tridimensionals en producte intern. El producte exterior, una atra operació relacionada en el producte vectorial, existix per a tots els espais vectorials.

[3] Spencer (1992), page 19.

[4] Per eixemple, I. V. Lindell (2001). “Polyadic Methods in Elastodynamics”. Progress in Electromagnetics Research 31: 113–154. doi:10.2528/PIER00051701.

[1]

[2]

[3]

[4]