Fòrmula de rotació de Rodrigues

Este artícul tracta sobre la fòrmula de rotació de Rodrigues, relacionada en els paràmetros de Euler-Rodrigues i en la fòrmula de Euler-Rodrigues d'una rotació 3D.

En la teoria del grup de rotació SO(3), la fòrmula de rotació de Rodrigues, que du el nom d'Olinde Rodrigues (1795-1851), és un algoritme eficient per a rotar un vector en l'espai, donat un eix i un àngul de rotació. Per extensió, açò es pot usar per a transformar els tres vectores d'una base per a calcular una matriu de rotació en $SO(3)$ , el grup de totes les matrius de rotació, utilisant una notació axial-angular. En atres paraules, la fòrmula de Rodrigues proporciona un algoritme per a calcular l'aplicació exponencial de $baix (3)$ (l'àlgebra de Lie de $SO(3)$ ), sobre $SO(3)$ sense calcular realment la matriu exponencial completa.

Definició

Si $v$ és un vector en $ℝ 3$ i $k$ és un vector unitari que descriu un eix de rotació sobre el qual $v$ gira en un àngul $θ$ segons la regla de la mà dreta, la fòrmula de Rodrigues per al vector girat $v rot$ és

Una definició alternativa és escriure el vector de l'eix com un producte vectorial $a \times b$ de qualsevol dels dos vectores distints a zero $a$ i $b$ que definixen el pla de rotació, i el sentit de l'àngul $θ$ es medix des de $a$ i cap a $b$ . En deixar que $α$ denote l'àngul entre estos vectores, els dos ànguls $θ$ i $α$ no són necessàriament iguals, pero es medixen en el mateix sentit. Llavors el vector de l'eix unitari es pot escriure

𝐤 = \frac{𝐚 \times 𝐛}{| 𝐚 \times 𝐛 |} = \frac{𝐚 \times 𝐛}{| 𝐚 | | 𝐛 | \sin α} .

Esta forma pot ser més útil quan estan involucrats dos vectores que definixen un pla. Un eixemple en física és la precesión de Thomas, que inclou la rotació donada per la fòrmula de Rodrigues, en térmens de dos increments de velocitat no colineales, i de l'eix de rotació que és perpendicular al pla definit per abdós.

Deducció

La fòrmula de rotació de Rodrigues gira $v$ en un àngul $θ$ al voltant del vector $k$ , descomponent-ho en els seus components paralel i perpendicular a $k$ , i girant solament el component perpendicular

Siga $k$ un vector unitari definint un eix de rotació, i siga $v$ un vector per a rotar sobre $k$ per l'àngul $θ$ (segons la regla de la mà dreta, en sentit contrari a les agulles del rellonge en la figura).

Usant el producte escalar i el producte vectorial, el vector $v$ es pot descompondre en components paralels i perpendicular a l'eix $k$ ,

𝐯 = 𝐯_{∥} + 𝐯_{⊥},

a on el component paralel a $k$ és

𝐯_{∥} = (𝐯 \cdot 𝐤) 𝐤

cridat vector proyecció de $v$ en $k$ , i el component perpendicular a $k$ és

𝐯_{⊥} = 𝐯 - 𝐯_{∥} = 𝐯 - (𝐤 \cdot 𝐯) 𝐤 = - 𝐤 \times (𝐤 \times 𝐯)

cridat vector rebuge de $v$ de $k$ .

El vector $k \times v$ es pot vore com una còpia de $v ⊥$ girada 90° en sentit antihorario al voltant de $k$ , per lo que les seues magnituts són iguals pero les direccions són perpendiculars. De la mateixa manera, el vector $k \times (k \times v)$ és una còpia de $v ⊥$ girada $180°$ en sentit contrari a les agulles del rellonge a través de $k$ , de modo que $k \times (k \times v)$ i $v ⊥$ són iguals en magnitut pero en direccions opostes (és dir, són negatius entre sí, per lo tant, de signes contraris). En expandir el producte mixt s'establix la conexió entre els components paralel i perpendicular. La fòrmula resultant és $a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ donat qualsevol dels tres vectores $a$ , $b$ , $c$ .

La component paralela a l'eix no canviarà la magnitut ni la direcció baix la rotació,

𝐯_{∥ r o t} = 𝐯_{∥},

solament la component perpendicular canviarà de direcció pero conservarà la seua magnitut, d'acort en

\begin{matrix} | 𝐯_{⊥ r o t} | & = | 𝐯_{⊥} |, \\ 𝐯_{⊥ r o t} & = \cos θ 𝐯_{⊥} + \sin θ 𝐤 \times 𝐯_{⊥}, \end{matrix}

i com $k$ i $v ∥$ són paralels, el seu producte creuat és zero $k \times v ∥ = 0$ , per lo que

𝐤 \times 𝐯_{⊥} = 𝐤 \times (𝐯 - 𝐯_{∥}) = 𝐤 \times 𝐯 - 𝐤 \times 𝐯_{∥} = 𝐤 \times 𝐯

i se seguix que

𝐯_{⊥ r o t} = \cos θ 𝐯_{⊥} + \sin θ 𝐤 \times 𝐯 .

Esta rotació és pròpia, ya que els vectores $v ⊥$ i $k \times v$ tenen la mateixa llongitut, i $k \times v$ és $v ⊥$ girat $90°$ en sentit contrari a les agulles del rellonge sobre $k$ . Un escalat de $v ⊥$ i $k \times v$ utilisant les funcions trigonométricas sen i coseno dona el component perpendicular girat. La forma del component girat és similar al desenroll d'un vector radial en el pla en coordenades polars $(r, θ)$ expressat en una base cartesiana 2D

𝐫 = r \cos θ 𝐞_{x} + r \sin θ 𝐞_{y},

a on $i x$ , $i i$ són vectores unitaris en les seues direccions indicades.

Ara el vector rotado complet és

𝐯_{r o t} = 𝐯_{∥ r o t} + 𝐯_{⊥ r o t},

En substituir les definicions de $v ∥rot$ i $v ⊥rot$ en els resultats de l'equació en

\begin{matrix} 𝐯_{r o t} & = 𝐯_{∥} + \cos θ 𝐯_{⊥} + \sin θ 𝐤 \times 𝐯 \\ = 𝐯_{∥} + \cos θ (𝐯 - 𝐯_{∥}) + \sin θ 𝐤 \times 𝐯 \\ = \cos θ 𝐯 + (1 - \cos θ) 𝐯_{∥} + \sin θ 𝐤 \times 𝐯 \\ = \cos θ 𝐯 + (1 - \cos θ) (𝐤 \cdot 𝐯) 𝐤 + \sin θ 𝐤 \times 𝐯 \end{matrix}

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Fórmula de rotación de Rodrigues» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.