Grup de rotació SO(3)

En mecànica i geometria, el grup de rotació 3D, a sovint denominat SO(3), és el grup de tots els moviment de rotació sobre l'orige de coordenades en l'espai euclídeo tridimensional R³, baix l'operació de composició. Per definició, una rotació sobre l'orige és una transformació que conserva l'orige, la distància euclidiana (per lo que és una isometría) i l'orientació (és dir, la mà de l'espai). Cada rotació no trivial està determinada pel seu eix de rotació (una llínea que passa per l'orige) i el seu àngul de rotació.

La composició de dos rotacions dona com resultat una atra rotació; cada rotació té una rotació inversa única; i la funció identitat satisfà la definició d'una rotació. Per les propietats anteriors (i en especial, a l'asociatividad de les rotacions compostes), el conjunt de totes les rotacions és un grup baix la composició de rotacions. Les rotacions no són conmutativas (per eixemple, rotar R 90° en el pla xy i a continuació rotar S 90° en el pla yz, no és lo mateix que S seguit de R), per lo que és un grup no abeliano. Ademés, el grup de rotació té una estructura natural com una varietat para la que les operacions del grup són contínuament diferenciables; aixina que de fet és un grup de Lie. Ademés, és compacte i té dimensió 3.

Les rotacions són aplicacions llineals de R³ i, per lo tant, poden representar-se utilisant matrius una volta que s'ha elegit una base de R³. Específicament, si s'elegix una base ortonormal de R³, cada rotació es descriu per mig d'una matriu ortogonal de 3×3 (és dir, una matriu de 3 × 3 en entrades reals que, quan es multiplica per la seua matriu transpuesta, dona com resultat la matriu identitat) i en determinant 1. Per lo tant, el grup SO(3) pot identificar-se en el grup d'estes matrius baix la multiplicació de matrius. Estes matrius es coneixen com a matrius ortogonals especials, d'a on procedix la notació SO(3) (Special Orthogonal).

El grup SO(3) s'utilisa per a descriure les possibles simetria de rotació d'un objecte, aixina com les diverses orientacions d'un objecte en l'espai. Els seus representacions són importants en física, a on permeten caracterisar les partícules elementals d'espin sancer.

Llongitut i àngul

Ademés de preservar la llongitut, les rotacions també conserven els ànguls entre vectores. Açò es deduïx del fet de que el producte escalar estàndar entre dos vectores o i v es pot escriure únicament en térmens de llongitut com:

$𝐮\cdot 𝐯=\frac{1}{2}(\Vert 𝐮+𝐯{\Vert }^2-\Vert 𝐮{\Vert }^2-\Vert 𝐯{\Vert }^2).$

D'això es deduïx que qualsevol transformació que preserve la llongitut en R³, conserva el producte escalar i, per lo tant, l'àngul entre vectores. Les rotacions a sovint es definixen com a transformacions llineals que conserven el producte intern en R ³, lo que equival a requerir que conserven la llongitut. Vore grup clàssic per a un tractament d'este enfocament més general, a on SO(3) apareix com un cas especial.

Matrius ortogonals i de rotació

Artícul principal → Matriu ortogonal.

Cada rotació assigna una base ortonormal de R³ a una atra base ortonormal. Com qualsevol transformació llineal d'espais vectorials de dimensió finita, una rotació sempre pot representar-se per mig d'una matriu. Siga R una rotació donada. Sobre la base canònica i₁,i₂,i₃ de R³, les columnes de R estan donades per (Ri₁,&#;Ri₂,&#;Ri₃). Ya que la base estàndar és ortonormal, i ya que R conserva els ànguls i la llongitut, les columnes de R formen una atra base ortonormal. Esta condició de ortonormalidad es pot expressar en la forma

$R^{𝖳}R=R{R}^{𝖳}=I,$

a on R^T denota la matriu transpuesta de R i I és la matriu identitat de 3&#;×&#;3. Les matrius per a les que es manté esta propietat es diuen matrius ortogonals. El grup de totes les matrius ortogonals 3&#;×&#;3 es denota com O(3), i consta de totes les rotacions pròpies i impròpies.

Ademés de preservar la llongitut, les rotacions pròpies també deuen preservar l'orientació. Una matriu conservarà o invertirà l'orientació segons si el determinant de la matriu és positiu o negatiu. Per a una matriu ortogonal R, es deu tindre en conte que det R^T = det R implica (det R)² = 1, per lo que det R = ±1. El subgrup de matrius ortogonals en determinant +1 es diu el "grup ortogonal especial", denotat per SO(3).

Per lo tant, cada rotació pot representar-se de manera única per mig d'una matriu ortogonal en un determinant unitari. Ademés, ya que la composició de les rotacions es correspon en la multiplicació de matrius, el grup de rotació és un isomorfisme sobre el grup ortogonal especial SO(3).

Les rotacions impròpies corresponen a matrius ortogonals en determinant −1, i no formen un grup perque el producte de dos rotacions impròpies és una rotació pròpia.