Exponencial d'una matriu

En matemàtiques, la exponencial de matrius és una funció definida sobre les matrius quadrades anàloga a la funció exponencial. S'usa per a resoldre sistemes d'equacions diferencials llineals.

Definició

Siga $X$ una matriu d'número complejo de tamany $n\times n$. L'exponencial de $X$, denotada per $e^X$ o $\exp (X)$, és la matriu $n\times n$ donada per la série de potències

$e^X=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{X^k}{k!}.$

a on $X^0$ està definida com la matriu identitat $I$ d'igual tamany que la matriu $X$. La série anterior és convergent per a qualsevol matriu quadrada.

Si la matriu $X$ és una matriu $1\times 1$ llavors l'exponencial de $X$ correspon en l'exponencial ordinària.

Propietats

Propietats elementals

Sean $X$ i $Y$ dos matrius complexes de dimensió $n\times n$, $a$ i $b\in ℂ$. Denotem la matriu identitat de tamany $n\times n$ per $I$ i en $0$ a la matriu nula. La matriu exponencial satisfà les següents propietats:

1. $e^0=I$
2. $\exp X^T=(\exp X{)}^T$, a on $X^T$ denota la transpuesta de la matriu $X$.
3. Si $Y$ és invertible llavors $e^{YX{Y}^{-1}}=Y{e}^X{Y}^{-1}$.
4. Si $XY=YX$ llavors $e^X{e}^Y=e^{X+Y}=e^Y{e}^X$.
5. Si $XY=YX$ llavors $Y{e}^X=e^{X}Y$.

Conseqüències

Les següents propietats són conseqüència de les propietats anteriors:

1. $e^{aX}{e}^{bX}=e^{(a+b)X}$.
2. $e^X{e}^{-X}=I$.

Utilisant estos resultats, pot demostrar-se fàcilment que si $X$ és simètrica llavors $e^X$ també és simètrica, si $X$ és antisimètrica llavors $e^X$ és ortogonal, si $X$ és hermítica llavors $e^X$ també ho és i si $X$ és antihermítica llavors $e^X$ és unitària.

Determinant d'una matriu exponencial

Per la fòrmula de Liouville, per a qualsevol matriu complexa que siga quadrada es té:

$\det e^X=e^{\mathrm{tr}(X)}$

Utilisant esta identitat, pot demostrar-se fàcilment que l'exponencial d'una matriu sempre és una matriu invertible.

Vore també

• Exponenciación
• Logaritmo d'una matriu