Exponenciación

La exponenciación és una operació definible en un àlgebra sobre un cos normada completa o àlgebra de Banach (espai vectorial normado complet que ademés és un anell) que generalisa la funció exponencial dels número real.

Quan $a$ i $b$ són dos número entero, l'operació $a^b$ pot definir-se en térmens algebraics elementals com a equivalent a la potenciació. No obstant, cert número de problemes físics concrets varen dur a tractar de generalisar la fòrmula anterior a valors de $b$ no sancers. Quan $b=\frac{1}{2}$ l'operació equival a una raïl quadrada. Finalment la exponenciación tracta de generalisar l'operació $a^b$ a valors de $b$ qualssevol. Usualment dita operació pot reduir-se al càlcul de l'operació $e^{b\cdot ln(a)}$. Este artícul generalisa esta operació a casos a on l'exponent no és necessàriament un número real, sino un número complejo, un número cuaterniónico o més generalment un element d'un espai de Banach.

Definició formal

Donat un element d'un àlgebra de Banach tenim definides una operació conmutativa de suma i una atra de multiplicació, la qual cosa permet definir l'anell de polinomis sobre dita àlgebra. Ademés per tindre una norma pot definir-se per a algunes series formals de potències una noció de convergència i per tant de llímit. En eixes condicions pot definir-se la següent operació:

$e^A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^n\frac{A^k}{k!}=1+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\frac{A^4}{4!}+\cdots$

Note's que: Si el cos sobre la que està definida l'àlgebra no conté a $ℝ$ el llímit anterior podria no convergir, de fet l'àlgebra no podria ser un àlgebra de Banach. Si l'àlgebra no és un espai vectorial normado no existix manera d'establir si el llímit anterior convergix.

Exponenciación d'número real

La exponenciación d'número real es realisa per mig de la funció exponencial. Donat un número real el seu exponenciación està sempre ben definida i té les següents propietats:

• $e^{a+b}=e^a{e}^b$
• $e^{ab}=(e^a{)}^b$
• monotonicidad: $a>b\to e^a>e^b$
• $a\ge 0\to e^a\ge 1,a=0\to e^a=1,a<0\to e^a<1$
• $e^a>a$

Vore també

• Potenciació
• Logaritmación
• Logaritmo discret