Rotacions en l'espai euclídeo 4-dimensional

Doble rotació d'un teseracto, en proyecció estereográfica

En matemàtiques, el grup de les rotacions en quatre dimensions respecte a un punt fix es denota SO(4). El nom prové del fet de que és el grup ortogonal d'orde 4.

En este artícul, rotació significa desplaçament rotacional. Per a evitar la multiplicitat cíclica dels girs, se supon que els ànguls de rotació estan compresos en el segment tancat [0, π], llevat que el context ho mencione o ho indique clarament.

Un pla fix té la propietat de que cada vector en dit pla no canvia despuix de la rotació. En un pla invariante, cada vector, encara que pot vore's afectat per la rotació, permaneix en el pla despuix de verificar-se la rotació.

Geometria de les rotacions en 4D

Les rotacions en quatre dimensions són de dos tipos: rotacions simples i rotacions dobles.

Rotacions simples

Una rotació simple $R$ sobre un centre de rotació $O$ deixa un pla fix complet $A$ (pla axial) que passa per $O$ . Cada pla $B$ que és completament ortogonal^{[nb 1]} a $A$ es interseca en $A$ en un cert punt $P$ . Cada punt $P$ és el centre de la rotació 2D induïda per $R$ en $B$ . Totes estes rotacions 2D tenen el mateix àngul de rotació $α$ .

Les semirrecta de $O$ en el pla axial $A$ no es desplacen; les semirrecta de $O$ ortogonals a $A$ giren un àngul $α$ ; totes les demés semirrecta es desplacen en un àngul menor que $α$ .

Rotacions dobles

Archiu:Torus vectors oblique.jpg

Un bou de Clifford en 4D proyectat estereográficamente en 3D s'assembla a un bou, i una rotació doble pot vore's com una trayectòria helicoidal inscrita en un bou. Per a una rotació que els seus dos ànguls de rotació formen un número racional, les trayectòries finalment es tornaran a conectar, mentres que per a una proporció irracional no ho faran. Una rotació isoclínica formarà un círcul de Villarceau en el bou, mentres que una rotació simple formarà un círcul paralel o perpendicular a l'eix central

Per a cada rotació $R$ en 4 dimensions (en l'orige fix), hi ha a lo manco un parell de plans bidimensionales ortogonals $A$ i $B$ , cada u dels quals és invariante i que la seua suma directa $A \oplus B$ comprén tot l'espai 4D. Per lo tant, $R$ en qualsevol d'estos dos plans produïx una rotació ordinària del pla. Para casi tots els $R$ (tot el conjunt de rotacions de 6 dimensions llevat un subconjunt de 3 dimensions), els ànguls de rotació $α$ en el pla $A$ i $β$ en el pla $B$ , abdós assumits com a distints de zero, són diferents. Els ànguls de rotació desiguals $α$ i $β$ que satisfan $-π < α$ , $β < π$ són casi^{[nb 2]} determinats exclusivament per $R$ . Suponent que el 4-espai està orientat, llavors les orientacions dels 2-plans $A$ i $B$ es poden elegir de dos maneres consistents en esta orientació. Si els ànguls de rotació són desiguals ( $α \neq β$ ), $R$ a voltes es denomina rotació doble.

En el cas de doble rotació, $A$ i $B$ són l'únic parell de plans invariantes, i les semirrecta a través de l'orige en $A$ , $B$ ; es desplacen $α$ i $β$ respectivament, i les semirrecta que passen per l'orige que no pertanyen a $A$ o $B$ , es desplacen segons ànguls estrictament compresos entre $α$ i $β$ .

Rotacions isoclínicas

Si els ànguls de rotació d'una rotació doble són iguals, llavors hi ha infinits plans invariantes en lloc de sol dos, i totes les semirrectas que passen per $O$ es desplacen segons el mateix àngul. Estes rotacions es denominen isoclínicas o rotacions equiangulares, o també desplaçaments de Clifford. No obstant, no tots els plans a través de $O$ són invariantes baix rotacions isoclínicas; solament els plans que ocupen una semirrecta i la semirrecta desplaçada corresponent són invariantes.

Suponent que s'ha elegit una orientació fixa per a l'espai de 4 dimensions, les rotacions 4D isoclínicas es poden classificar en dos categories. Per a vore açò, considere's una rotació isoclínica $R$ , i prenga's un conjunt ordenat $OU, OX, OY, OZ$ d'orientació coherent de semirrecta mútuament perpendiculars en $O$ (denotat com $OUXYZ$ ) de modo que $OU$ i $OX$ comprenguen un pla invariante, i per lo tant $OY$ i $OZ$ també comprenguen un pla invariante. Ara suponga's que solament s'especifica l'àngul de rotació $α$ . Llavors, en general, hi ha quatre rotacions isoclínicas en els plans $OUX$ i $OYZ$ en un àngul de rotació $α$ , depenent dels sentits de rotació en $OUX$ i $OYZ$ .

Prenent la convenció de que els sentits de rotació de $OU$ a $OX$ i de $OY$ a $OZ$ es consideren positius, es tenen les quatre rotacions $R 1 = (+ α, + α)$ , $R 2 = (- α, - α)$ , $R 3 = (+ α, - α)$ i $R 4 = (- α, + α)$ . $R 1$ i $R 2$ són inverses entre sí; de la mateixa manera que $R 3$ i $R 4$ . Mentres $α$ es trobe entre 0 i Π, estes quatre rotacions seran distintes.

Les rotacions isoclínicas en signes iguals es denominen isoclínicas a l'esquerra; aquelles en signes oposts són isoclínicas a la dreta. Les rotacions isoclínicas a l'esquerra i a la dreta estan representades respectivament per la multiplicació a l'esquerra i a la dreta per cuaterniones unitaris (vore el paràgraf Relació en els cuaterniones a continuació).

Les quatre rotacions són de paritat diferent excepto si $α = 0$ o $α = π$ . L'àngul $α = 0$ correspon a la rotació identitat; $α = π$ correspon a la simetria central, donada pel negatiu de la matriu identitat. Estos dos elements de SO(4) són els únics que són simultàneament isoclínicos a l'esquerra i a la dreta.

La isoclinia a l'esquerra i a la dreta aixina definida, sembla dependre de la rotació isoclínica específica que s'haguera seleccionat. No obstant, quan se selecciona una atra rotació isoclínica $R'$ en els seus propis eixos $OU'$ , $OX'$ , $OY'$ , $OZ'$ , llavors sempre es pot elegir l'orde de $O'$ , $X'$ , $I'$ , $Z'$ de tal manera que $OUXYZ$ es puga transformar en $OU'X'I'Z'$ per mig d'una rotació en lloc de fer-ho per una rotació-reflexió (és dir, de modo que la base ordenada $OU'$ , $OX'$ , $OY'$ , $OZ'$ també siga coherent en la mateixa elecció fixa d'orientació que $OU$ , $OX$ , $OY$ , $OZ$ ). Per lo tant, una volta que s'ha seleccionat una orientació (és dir, un sistema $OUXYZ$ d'eixos que es denota universalment com a la dreta), es pot determinar el caràcter a l'esquerra o a la dreta d'una rotació isoclínica específica.

Estructura de grup de SO(4)

SO(4) forma un grup de Lie compacte, no conmutativo i de dimensió 6.

Cada pla a través del centre de rotació $O$ és l'eix planar d'un isomorfisme que forma un subgrup conmutativo sobre SO(2). Tots estos subgrups són mútuament conjugats en SO(4).

Cada parell de plans completament ortogonals que passen a través d'O formen un parell de plans invariantes d'un subgrup conmutativo de SO(4) isomorfo a SO(2) × SO(2).

Estos grups són bous màxims de SO(4), que es conjuguen mútuament en SO(4) (vore també bou de Clifford).

Totes les rotacions isoclínicas a l'esquerra formen un subgrup no conmutativo $S 3 L$ de SO(4), que és isomorfo al grup multiplicativo $S 3$ dels cuaterniones unitaris. Totes les rotacions isoclínicas a la dreta també formen un subgrup $S 3 R$ de SO(4), isomorfo a $S 3$ . Tant $S 3 L$ com $S 3 R$ són subgrups màxims de SO(4).

Cada rotació isoclínica a l'esquerra commuta en una rotació isoclínica a la dreta. Açò implica que existix un producte directe $S 3 L \times S 3 R$ en subgrups normals $S 3 L$ i $S 3 R$ . Els dos grups cocients corresponents són isomorfos a l'atre factor del producte directe, és dir, isomorfos a $S 3$ (esta correspondència no cobrix SO(4) ni un subgrup de SO(4), ya que $S 3 L$ i $S 3 R$ no són disjuntos: l'identitat $I$ i l'inversió central $- I$ pertanyen tant a $S 3 L$ com a $S 3 R$ ).

Cada rotació 4D $A$ és de dos maneres el producte de les rotacions isoclínicas a l'esquerra i a la dreta $A L$ i $A R$ . $A L$ i $A R$ es determinen en conjunt fins a l'inversió central, és dir, quan tant $A L$ com $A R$ es multipliquen per l'inversió central, el seu producte és $A$ novament.

Açò implica que $S 3 L \times S 3 R$ és el grup de recobriment universal de SO(4), el seu doble recobriment únic, i que $S 3 L$ i $S 3 R$ són subgrups normals de SO(4). La rotació identitat $I$ i l'inversió central $- I$ formen un grup $C 2$ d'orde 2, que és el centre de SO(4) i de $S 3 L$ i $S 3 R$ . El centre d'un grup és un subgrup normal d'eixe grup. El grup de factors de $C 2$ en SO(4) és isomorfo a SO(3) × SO(3). Els grups de factors de $S 3 L$ per $C 2$ i de $S 3 R$ per $C 2$ són cada u isomorfos a SO(3). De manera similar, els grups de factors de SO(4) per $S 3 L$ i de SO(4) per $S 3 R$ són cada u isomorfos a SO(3).

La topología de SO(4) és la mateixa que la del grup de Lie SO(3) × Spin(3)=SO(3) × SU(2), és dir, la topología de $P 3 \times S 3$ . No obstant, cal destacar que com a grup de Lie, SO(4) no és un producte directe de grups de Lie, per lo que no és isomorfo a SO(3) × Spin(3)=SO(3) × SU(2).

Propietat especial de SO (4) entre els grups de rotació en general

Els grups de rotació de dimensió impar no contenen l'inversió central, i són grups simples.

Els grups de rotació de dimensions pares contenen l'inversió central $- I$ i tenen el grup $C 2 = {I,- I}$ com el seu centre. Des de SO(6) en avant, són casi simples en el sentit de que els grups cocients dels seus centres són grups simples.

SO(4) és diferent: no existix conjugació per cap element de SO(4) que transforme les rotacions isoclínicas a l'esquerra i a la dreta entre sí. Les reflexions transformen una rotació isoclínica a l'esquerra en una isoclínica a la dreta per mig de conjugació, i viceversa. Açò implica que baixe el grup O(4) de totes les isometría en punt fix $O$ , els subgrups $S 3 L$ i $S 3 R$ es conjuguen mútuament i, per lo tant, no són subgrups normals d'O(4). El grup de rotació en 5D, denominat SO(5) i tots els grups de rotació superiors contenen subgrups isomorfos a O(4). De la mateixa manera que SO(4), tots els grups de rotació de dimensions pares contenen rotacions isoclínicas. Pero a diferència de SO(4), en SO(6) i en tots els grups de rotació de dimensions més altes, qualsevol parell de rotacions isoclínicas a través del mateix àngul són conjugades. Els conjunts de totes les rotacions isoclínicas no són ni tan sols subgrups de SO( $2 N$ ), i molt manco subgrups normals.

Àlgebra de les rotacions en 4D

SO(4) s'identifica comunament en el grup d'orientació que conserva les aplicacions llinealés isomètriques d'un espai vectorial 4D en un producte intern en els número real sobre sí mateixa.

Sobre una base ortonormal, dit espai SO(4) es representa com el grup de matrius ortogonals de quart orde sobre els número real en determinant +1.

Descomposició isoclínica

Una rotació 4D donada per la seua matriu es descompon en una rotació isoclínica a l'esquerra i a la dreta com s'indica a continuació:

Siga

A = (\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{30} & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})

una matriu sobre una base ortonormal arbitrària.

Es calcula la seua matriu associada

M = \frac{1}{4} (\begin{matrix} a_{00} + a_{11} + a_{22} + a_{33} & + a_{10} - a_{01} - a_{32} + a_{23} & + a_{20} + a_{31} - a_{02} - a_{13} & + a_{30} - a_{21} + a_{12} - a_{03} \\ a_{10} - a_{01} + a_{32} - a_{23} & - a_{00} - a_{11} + a_{22} + a_{33} & + a_{30} - a_{21} - a_{12} + a_{03} & - a_{20} - a_{31} - a_{02} - a_{13} \\ a_{20} - a_{31} - a_{02} + a_{13} & - a_{30} - a_{21} - a_{12} - a_{03} & - a_{00} + a_{11} - a_{22} + a_{33} & + a_{10} + a_{01} - a_{32} - a_{23} \\ a_{30} + a_{21} - a_{12} - a_{03} & + a_{20} - a_{31} + a_{02} - a_{13} & - a_{10} - a_{01} - a_{32} - a_{23} & - a_{00} + a_{11} + a_{22} - a_{33} \end{matrix})

$M$ té ranc un i posseïx mòdul unitat com un vector 16D si i solament si $A$ és efectivament una matriu de rotació 4D. En este cas, existixen número real $a, b, c, d$ i $p, q, r, s$ de tal manera que

M = (\begin{matrix} a p & a q & a r & a s \\ b p & b q & b r & b s \\ c p & c q & c r & c s \\ d p & d q & d r & d s \end{matrix})

i

(a p)^{2} + \dots + (d s)^{2} = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) (p^{2} + q^{2} + r^{2} + s^{2}) = 1.

Hi ha exactament dos conjunts $a, b, c, d$ i $p, q, r, s$ , tals que $a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1$ i $p 2 + q 2 + r 2 + s 2 = 1$ . Abdós són oposts entre sí.

La matriu de rotació és igual a

\begin{matrix} A & = (\begin{matrix} a p - b q - c r - d s & - a q - b p + c s - d r & - a r - b s - c p + d q & - a s + b r - c q - d p \\ b p + a q - d r + c s & - b q + a p + d s + c r & - b r + a s - d p - c q & - b s - a r - d q + c p \\ c p + d q + a r - b s & - c q + d p - a s - b r & - c r + d s + a p + b q & - c s - d r + a q - b p \\ d p - c q + b r + a s & - d q - c p - b s + a r & - d r - c s + b p - a q & - d s + c r + b q + a p \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} a & - b & - c & - d \\ b & a & - d & c \\ c & d & a & - b \\ d & - c & b & a \end{matrix}) (\begin{matrix} p & - q & - r & - s \\ q & p & s & - r \\ r & - s & p & q \\ s & r & - q & p \end{matrix}) . \end{matrix}

Esta fòrmula es deu a Van Elfrinkhof (1897).

El primer factor en esta descomposició representa una rotació isoclínica a l'esquerra, el segon factor és una rotació isoclínica a la dreta. Els factors es determinen fins a la matriu identitat negativa de quart orde, és dir, l'inversió central.

Relació en els cuaterniones

Un punt en l'espai de 4 dimensions en coordenades cartesianas $(o, x, i, z)$ es pot representar per mig d'un cuaternión $P = o + xi + yj + zk$ .

Una rotació isoclínica a l'esquerra es representa per mig de la multiplicació a l'esquerra per un cuaternión unitat $Q L = a + bi + cj + dk$ . En llenguage matricial, açò és

(\begin{matrix} u^{'} \\ x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & - b & - c & - d \\ b & a & - d & c \\ c & d & a & - b \\ d & - c & b & a \end{matrix}) (\begin{matrix} u \\ x \\ y \\ z \end{matrix})

De la mateixa manera, una rotació isoclínica a la dreta es representa per mig de la multiplicació a la dreta per un cuaternión unitat $Q R = p + qi + rj + sk$ , que es troba en forma de vector matriu

(\begin{matrix} u^{'} \\ x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p & - q & - r & - s \\ q & p & s & - r \\ r & - s & p & q \\ s & r & - q & p \end{matrix}) (\begin{matrix} u \\ x \\ y \\ z \end{matrix}) .

En la secció anterior es mostra cóm una rotació 4D general es dividix en factors isoclínicos a l'esquerra i a la dreta.

En el llenguage dels cuaterniones, la fòrmula de Van Elfrinkhof es llig com

u^{'} + x^{'} i + y^{'} j + z^{'} k = (a + b i + c j + d k) (u + x i + y j + z k) (p + q i + r j + s k),

o, en forma simbòlica,

P^{'} = Q_{L} P Q_{R} .

Segons el matemàtic alemà Felix Klein, esta fòrmula ya la coneixia Cayley en 1854.

La multiplicació de cuaterniones és associativa. Per lo tant,

P^{'} = (Q_{L} P) Q_{R} = Q_{L} (P Q_{R}),

lo que demostra que les rotacions isoclínicas a l'esquerra i a la dreta commuten entre sí.

Valors propis de les matrius de rotació 4D

Els quatre valors propis d'una matriu de rotació 4D, generalment tenen la forma de dos parells conjugats de número complejo de magnitut unitat. Si un valor propi és real, deu ser ±1, ya que una rotació no modifica la magnitut d'un vector. El conjugat d'eixe valor propi també és l'unitat, produint un parell de vectores propis que definixen un pla fix, per lo que la rotació és simple. En la notació dels cuaterniones, una rotació a la dreta (és dir, no inversa) en SO(4) és una rotació simple pròpia si i solament si les parts reals dels cuaterniones unitat $Q L$ i $Q R$ són iguals en magnitut i tenen el mateix signe.^{[nb 3]} Si abdós són zero, tots els valors propis de la rotació són l'unitat, i la rotació és la rotació nula. Si les parts reals de $Q L$ i $Q R$ no són iguals, llavors tots els valors propis són complexos, i la rotació és una rotació doble.

Fòrmula de Euler-Rodrigues per a rotacions 3D

És possible tractar eficientemente l'espai 3D ordinari com un subespacio en el sistema de coordenades OXYZ de l'espai 4D en el sistema de coordenades OUXYZ. La seua grup de rotació SO(3) s'identifica en el subgrup de SO(4) representat per les matrius

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) .

En la fòrmula de Van Elfrinkhof de la subsección anterior, esta restricció a tres dimensions du a $p = a$ , $q = - b$ , $r = - c$ , $s = - d$ o en la notació dels cuaterniones: $Q R = Q L' = Q L -1$ . La matriu de rotació 3D es convertix llavors en

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} & 2 (b c - a d) & 2 (b d + a c) \\ 2 (b c + a d) & a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2} & 2 (c d - a b) \\ 2 (b d - a c) & 2 (c d + a b) & a^{2} - b^{2} - c^{2} + d^{2} \end{matrix}),

que és la representació de la rotació 3D per les seues paràmetros de Euler-Rodrigues: $a, b, c, d$ .

La fòrmula del cuaternión corresponent $P' = QPQ -1$ , a on $Q = Q L$ , o, en forma expandida:

x^{'} i + y^{'} j + z^{'} k = (a + b i + c j + d k) (x i + y j + z k) (a - b i - c j - d k)

és coneguda com la fòrmula d'Hamilton-Cayley.

Coordenades de Hopf

Les rotacions en l'espai 3D es fan matemàticament molt més manejables per mig de l'us de coordenades esfèriques. Qualsevol rotació en 3D es pot caracterisar per un eix de rotació fix i un pla invariante perpendicular a eixe eix. Sense pèrdua de generalitat, es pot prendre el pla $xy$ com el pla invariante i l'eix $z$ com l'eix fix. Com les distàncies radials no es veuen afectades per la rotació, es caracterisa una rotació pel seu efecte en l'esfera unitària (2 esfera) per mig de coordenades esfèriques referit a l'eix fix i al pla invariante:

\begin{matrix} x & = sen θ \cos ϕ \\ y & = sen θ sen ϕ \\ z & = \cos θ \end{matrix}

Degut a que $x 2 + i 2 + z 2 = 1$ , els punts es troben en la 2 esfera. Un punt en ${θ 0, φ 0}$ girat per un àngul $φ$ sobre l'eix $z$ s'especifica simplement per ${θ 0, φ 0 + φ}$ . Si be les coordenades hiperesféricas també són útils per a tractar les rotacions en 4D, les coordenades de Hopf ${ξ 1, η, ξ 2}$ , un conjunt de tres coordenades angulars que especifiquen una posició en la 3 esfera, proporciona un sistema de coordenades encara més útil per a 4D. Per eixemple:

\begin{matrix} u & = \cos ξ_{1} sen η \\ z & = sen ξ_{1} sen η \\ x & = \cos ξ_{2} \cos η \\ y & = sen ξ_{2} \cos η \end{matrix}

Degut a que $o 2 + x 2 + i 2 + z 2 = 1$ , els punts es troben en la 3 esfera.

En l'espai 4D, cada rotació sobre l'orige té dos plans invariantes que són completament ortogonals entre sí i que es intersecan en l'orige, girant segons dos ànguls independents $ξ 1$ i $ξ 2$ . Sense pèrdua de generalitat, es poden elegir, respectivament, els plans $uz$ i $xy$ com estos plans invariantes. Una rotació en 4D d'un punt ${ξ 10, η 0, ξ 20}$ a través dels ànguls $ξ 1$ i $ξ 2$ s'expressa simplement en coordenades de Hopf com ${ξ 10 + ξ 1, η 0, ξ 20 + ξ 2}$ .

Vore també

Notes

↑ Schoute 1902, Volume 1.

Referències

L. van Elfrinkhof: Eene eigenschap van de orthogonale substitutie van de vierde orde. Handelingen van het 6i Nederlandsch Natuurkundig en Geneeskundig Congres, Delft, 1897.
Felix Klein: Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Translated by E.R. Hedrick and C.A. Noble. The Macmillan Company, New York, 1932.
Henry Parker Manning [1] archivat en Wayback Machine.: Geometry of four dimensions. The Macmillan Company, 1914. Republished unaltered and unabridged by Dover Publications in 1954. In this monograph four-dimensional geometry is developed from first principles in a synthetic axiomatic way. Manning's work ca be considered as a direct extension of the works of Euclides and Hilbert to four dimensions.
J. H. Conway and D. A. Smith: On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry. A. K. Peters, 2003.
Arthur Stafford Hathaway (1902) Quaternion Space, Transactions of the American Mathematical Society 3(1):46–59.

Johan E. Mebius, A matrix-based proof of the quaternion representation theorem for four-dimensional rotations., arXiv General Mathematics 2005. Johan E. Mebius, Derivation of the Euler–Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations., arXiv General Mathematics 2007.

P.H.Schoute: Mehrdimensionale Geometrie. Leipzig: G.J.Göschensche Verlagshandlung. Volume 1 (Sammlung Schubert XXXV): Die linearen Räume, 1902. Volume 2 (Sammlung Schubert XXXVI): Die Polytope, 1905.
“On the geometry of plans in a parabolic space of four dimensions” (1901). Transactions of the American Mathematical Society 2: 183–214. doi:10.1090/s0002-9947-1901-1500564-2.
Melek Erdoğdu, Mustafa Özdemir, Generating Four Dimensional Rotation Matrius, https://www.researchgate.net/publication/283007638_generating_four_dimensional_rotation_matrices, 2015.
Daniele Mortari, "On the Rigid Rotation Concept in n-Dimensional Spaces", Journal of the Astronautical Sciences 49.3 (July 2001), https://pdfs.semanticscholar.org/f7d8/63ceb75277133592ef9i92457b6705b1264f.pdf
Archivat el 17 de febrer de 2019 archivat en Wayback Machine.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "nb", pero no es trobà una etiqueta <references group="nb"/>

[1] Schoute 1902, Volume 1.

[nb 1]

[nb 2]

[nb 3]