Ranc (àlgebra llineal)

En àlgebra llineal, es definix el ranc d'una aplicació llineal entre dos espais vectorials com la dimensió del conjunt image.

Freqüentment la noció s'aplica a aplicacions llineals entre espais de dimensió finita, la qual cosa dona lloc a la noció de ranc d'una matriu.

Espais de dimensió finita

Ranc d'una matriu

El ranc d'una matriu és el número màxim de columnes (files respectivament) que són linealmente independents. El ranc fila i el ranc columna sempre són iguals: este número és anomenat simplement ranc de $A$ (prova més avall). Comunament s'expressa com $\mathrm{rg}(A)$.

El número de columnes independents d'una matriu $A$ de $m$ files i $n$ columnes és igual a la dimensió del espai columna de $A$. També la dimensió del espai fila determina el ranc. El ranc de $A$ serà, per tant, un número no negatiu, menor o igual que el mínim entre $m$ i $n$:

Ranc d'una transformació llineal

El ranc és una propietat no només de les matrius sino extensible a les aplicacions llineals, de les quals les matrius són una representació una volta fixada una base.

Donada aplicació o transformació llineal:

es definix el ranc simplement com la dimensió del conjunt image de l'aplicació:

Una propietat molt important del ranc aixina definit i el ranc de matrius definit anteriorment, és que abdós coincidixen. És dir, donada una base arbitrària l'aplicació llineal es pot representar per mig d'eixa base en forma de matriu resultant el ranc d'eixa matriu idèntic al ranc de l'aplicació llineal que representa.

Per a establir més clarament la relació entre el ranc d'una aplicació llineal i una matriu que represente dita aplicació llineal, deuen fixar-se dos bases en cada u dels dos espais $ℬ=\{{𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_n\}$ i ${ℬ}^{\prime }=\{{{𝐮}^{\prime }}_1,\dots ,{{𝐮}^{\prime }}_m\}$, podem expressar la transformació llineal per una matriu $M(f,{ℬ}^{\prime }\leftarrow ℬ)=(a_{ij})$ que verifica:

$𝐲=f(𝐱)⟹\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),$

$\text{con}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\text{ y }\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\text{las componentes de }x\text{ e }y\text{ en las bases }ℬ\text{ y }{ℬ}^{\prime }\text{, respectivament.}$

Sent:

$f({𝐮}_i)=a_{i1}{{𝐮}^{\prime }}_1+\dots +a_{im}{{𝐮}^{\prime }}_m\mathrm{\forall }i\in \{1,\mathrm{...},n\}$

Com es va dir anteriorment, el ranc de $M(f,{ℬ}^{\prime }\leftarrow ℬ)=(a_{ij})$ coincidix en la dimensió de l'image de $f$.

Càlcul del ranc

Donada una matriu el seu ranc pot determinar-se senzillament a partir del càlcul de determinants. Donada la matriu $𝐀\in {ℳ}_{m\times n}$

es calcula el ranc com el màxim sancer $r$ tal que existix un menor no nul d'orde r tal que

Una atra forma de calcular el ranc d'una matriu és per mig del método de Gauss-Jordan, i serà igual al número de files no nules de la matriu obtinguda en aplicar el método.

Donada una aplicació llineal el seu ranc pot calcular-se fàcilment considerant una base qualsevol i determinant el ranc de la matriu que representa l'aplicació en dita base, ya que el número obtingut no dependrà de l'elecció de la base.

Prova de que ranc columna = ranc fila

La prova és un resultat important del teorema fonamental de l'àlgebra llineal i és vàlida per a qualsevol cos:

Siga $A$ una matriu de tamany $m\times n$ (en $m$ files i $n$ columnes). Siga $r$ el ranc columna de $A$ i siga $c_1,\mathrm{...},c_r$ una base per a l'espai columna de $A$. Posen-se estes com a columnes d'una matriu $C$ de tamany $m\times r$. Cada columna de $A$ pot ser expressada com una combinació llineal de $r$ columnes en $C$. Açò significa que hi ha una matriu $R$ de tamany $r\times n$ tal que $A=CR$. $R$ és la matriu la columna de la qual $i$-ésima està formada a partir dels coeficients que donen la $i$-ésima columna de $A$ com una combinació llineal de les $r$ columnes de $C$. També cada fila de $A$ ve donada per una combinació llineal de les $r$ files de $R$. Per lo tant, les files de $R$ formen un sistema generador de l'espai fila de $A$ i, llavors, el ranc fila de $A$ no pot excedir $r$. Açò prova que el ranc fila de $A$ és menor o igual que el ranc columna de $A$. Este resultat pot ser aplicat a qualsevol matriu, aixina que aplique's a la matriu transpuesta de $A$. Ya que el ranc fila de la transpuesta de $A$ és el ranc columna de $A$ i el ranc columna de la transpuesta de $A$ és el ranc fila de $A$, açò establix la desigualtat inversa i s'obté l'igualtat del ranc fila i el ranc columna de $A$.

Aplicacions

Una útil aplicació de calcular el ranc d'una matriu és la de determinar el número de solucions al sistema d'equacions llineals, enunciat del Teorema de Rouché–Frobenius. El sistema té per lo manco una solució si el ranc de la matriu de coeficients equival al ranc de la matriu aumentada. En eixe cas, esta té exactament una solució si el ranc equival al número d'incògnites; en un atre cas, la solució general té $k$ paràmetros lliures, a on $k$ és la diferència entre el número d'incògnites i el ranc.

Una matriu de $n\times n$ és invertible (té inversa) si i només si el seu ranc és màxim, és dir, igual a $n$.

En teoria de control, el ranc d'una matriu es pot usar per a determinar si un sistema llineal és controlable o observable.

Espais de dimensió infinita

En anàlisis funcional la noció de ranc es pot aplicar a aplicacions llineals entre espais vectorials de dimensió infinita. En moltes aplicacions com la mecànica quàntica, l'espai de dimensió infinita sol ser un espai de Hilbert separable. El ranc d'operador definit sobre un espai de Hilbert usualment serà també infinit, encara que l'operador és acotat quan este ranc és finito l'operador resulta ser un operador compacte, en propietats anàlogues a les aplicacions llineals sobre espais de dimensió finita.

Vore també

• Independència llineal
• Teorema ranc-nulitat

Referències

Bibliografia

• Conway (1985). A course in functional analysis, Springer-Verlag. ISBN 3-540-96042-2.
• (Section 7.5)

Enllaços externs

• Plantilla:PlanetMath