Quarta dimensió

Archiu:8-cell.gif

Hipercubo de 4 dimensions espacials girant, tal com es voria proyectat en l'espai tridimensional.

Archiu:24-cell.gif

Icositetracoron

Archiu:5-cell.gif

Pentacoron Una proyecció 3D d'un Pentácoro (4D) fent doble rotació en dos dels seus plans ortogonals.

El terme quarta dimensió apareix en diversos contexts com la física, les matemàtiques, la ciència ficció i l'espiritualitat. En cada context el significat és diferent:

• En física, es fa referència a la quarta dimensió en parlar del temps, principalment des del plantejament del espai-temps en la teoria de la relativitat.
• En matemàtica, el concepte apareix associat o be a espais euclídeos de més de tres dimensions o, més generalment, a espais localment euclídeos o 4-varietats diferenciables.
• En la ciència ficció fa referència a atres móns o univers.

En l'espiritualitat la quarta dimensió fa referència a l'espai a on podem habitar en un estat de lliure consciència.

Història de la quarta dimensió

L'interés en les dimensions més altes va alcançar el seu clímax entre 1870 i 1920. En eixos anys es va convertir en tema freqüent en la lliteratura fantàstica, l'art i inclús algunes teories científiques. La quarta dimensió, entesa com a dimensió espacial adicional (no com a dimensió temporal, com en la teoria de la relativitat) va aparéixer en les obres lliteràries d'Oscar Wilde, Fiódor Dostoyevski, Marcel Proust, H. G. Wells i Joseph Conrad, va inspirar algunes obres musicals d'Aleksandr Skriabin, Edgar Varèse i George Antheil i algunes obres plàstiques de Pablo Picasso i Marcel Duchamp, influint en el desenroll del cubisme. Inclús personages tan diversos com el sicòlec William James, l'escritora Gertrude Stein o el socialiste revolucionari Vladímir Lenin es varen interessar pel tema.

Igualment, els matemàtics havien estat interessats en el tema en tractar de generalisar els conceptes de la geometria euclidiana tridimensional. El matemàtic Charles L. Dodgson, que va ensenyar en l'Universitat d'Oxford, va delectar a generacions d'escolars escrivint llibres baix l'seudònim de Lewis Carroll, que incorporaven algunes idees sobre la quarta dimensió. Des del punt de vista acadèmic, l'estudi general de la geometria de la quarta dimensió és en gran part resultat dels treballs de Bernhard Riemann. Charles Howard Hinton, matemàtic i escritor de ciència ficció britànic, va falcar molts neologismes per a descriure elements en la quarta dimensió. D'acort en el Oxford English Dictionary, va anar el primer en amprar la paraula tesseract en el seu llibre Una nova era del pensament. També va inventar les paraules “kata” (del grec “avall”) i “ana” (del grec “dalt”) per a descriure les dos direccions opostes en la quarta dimensió, equivalents a dreta-esquerra, dalt-avall, i alvance-arrere (vore la seua obra La quarta dimensió).

Els treballs matemàtics sobre geometria multidimensionales i geometria no euclidianas havien segut considerats pels físics com a simples abstracció matemàtiques, fins que Henri Poincaré va provar que el grup de transformacions de Lorentz, que deixaven invariantes les equacions de l'electromagnetisme, podien ser interpretades com "rotacions" en un espai de quatre dimensions. Més vesprada, els treballs d'Einstein i l'interpretació geomètrica d'estos per part d'Hermann Minkowski varen dur a l'acceptació de la quarta dimensió com una descripció necessària per a explicar els fets observats relacionats en l'electromagnetisme. No obstant, ací la "quarta dimensió" no era un lloc separat de l'espai tridimensional (com en vàries de les obres de ficció de l'época) ni tampoc una dimensió espacial anàloga a les atres tres dimensions espacials, sino una dimensió temporal que solament pot recórrer-se cap al futur. En la teoria general de la relativitat el camp gravitatorio és explicat com un efecte geomètric de la curvatura d'un espai-temps de quatre dimensions.

Més vesprada, la teoria de Kaluza-Klein va propondre que no solament el camp gravitatorio podia ser interpretat de forma més senzilla com a curvatura d'un "espai" de més de tres dimensions, sino que si s'introduïa una nova dimensió espacial enrollada o «compactificada», també el camp electromagnètic podia ser interpretat com un efecte geomètric de la curvatura de dimensions superiors. Aixina, Kaluza proponia una teoria de camp unificat del electromagnetisme i la gravetat en un espai-temps de cinc dimensions: en una dimensió temporal, tres dimensions espacials esteses i una dimensió espacial «compactificada» adicional, que, per la seua condició de compactificada, no era directament visible, pero el seu efecte era perceptible en forma de camp més electromagnètic.

Quarta dimensió en matemàtiques

Un àngul recte es descriu com un quarto d'una revolució. La geometria cartesiana tria direccions ortogonals arbitrariamente a través de l'espai, lo que significa que cada direcció està en àngul recte en les demés. Les tres dimensions ortogonals de l'espai es coneixen com a altitut, llongitut i latitut. La quarta dimensió, per lo tant, és la direcció en l'espai en àngul recte a les 3 direccions observables.

Vectores espacials

Archiu:Dice analogy- 1 to 5 dimensions.svg

Demostració d'1 a 5 dimensions.

Un vector espacial és un conjunt de vectores, els quals podem imaginar-los com a fleches, que prové d'un simple lloc cridat orige (vectores geomètrics), que apunten a atres llocs.

Un punt és un objecte de zero dimensions. No té extensió en l'espai ni propietats, com una flecha, pero sense llongitut. Este vector és anomenat el vector zero i és el més simple vector espacial.

Una llínea és un objecte unidimensional. Si triem un cert vector distint a zero en una certa direcció, este vector té certa llongitut definida. Eixe vector té un cap en un cert punt en espai i una coa en l'orige. Si pensem en estirar que eixe vector aixina siga dos voltes el seu llarc, tres voltes, etcétera i uniformement, prenent totes les llongituts possibles (inclús la llongitut zero, conseguir el vector zero), conseguirem una sola llínea en una sola dimensió: La de la llongitut. Tots els vectores que descriuen punts en esta llínea serien paralels. Encara que per a visualisar la llínea és necessari que esta tinga un ample mínim, no obstant, una llínea de 1D no la tindria.

Un pla és un objecte de dos dimensions. Té llongitut i esgambi, pero no profunditat - alguna cosa com un full de paper, o més exactament alguna cosa com les imàgens en un televisor comú. El pensament en un pla en térmens de vectores pot ser una miqueta més desafiant. Si pensem en prendre un vector i ho movem de modo que la seua coa estiga tocant el cap del primer i estiga formant un vector en la seua coa en l'orige i el cap en el cap del segon vector colocat de nou, tenim una manera raonable de parlar de vectores d'adició. Si tenim dos vectores que no siguen paralels, podem parlar de tots els punts que podem alcançar per o solament l'estirar o cap dels vectores, i, agregant estos vectores junts, estos punts formen un pla.

L'espai, com ho percebem, és tridimensional. Podem pensar en posar una llínea junt en un pla. Estes llínees són com un emparedado. Per a conseguir a un cert punt en espai, podem imaginar-nos el viajar damunt de la llínea i despuix el moure-nos a través del pla al punt. Llavors tenim tres vectores a pensar entorn, un a viajar una certa distància damunt de la llínea i dos per a conseguir a un cert punt en espai.

Per a tres rectes ortogonals en l'espai tridimensional (x, "i", i z) existix una quarta, normal a l'espai, ortogonal a estes tres rectes, que forma un eix p. eix. w.

El producte vectorial és la determinant d'una matriu 4×4, a on una de les files (o columnes) són els vectores unitaris h, i, j i k i les demés (files o columnes respectivament) estan formades per les components de tres vectores tetradimensionales qualssevol, este producte nos donarà un quart vector perpendicular a estos tres mateixos.

Geometria tetradimensional en quatre dimensions espacials

La geometria euclidiana preveu una major varietat de formes per a existir que en tres dimensions. Els poliedres tridimensionals són recints espacials fets de cares de dos dimensions conectades, els policronos cuatridimensionales són recints de l'espai cuadridimensional fets de poliedres tridimensionals. A on en tres dimensions, hi ha exactament cinc poliedres regulars, o els sòlits platònics, que poden existir, sis policronos regulars existixen en la quarta dimensió. Cinc dels sis es poden interpretar com a extensions naturals dels sòlits platònics, aixina com la gaveta, un sòlit platònic, és una extensió del quadrat de dos dimensions. El pentachoron està fet de 5 tetraedres per a les cares i 10 cares triangulars, i és l'anàlec cuadridimensional del tetraedre. El teseracto o hipercubo es compon de 8 cares cúbiques i de 24 quadrats, i és el politopo cuadridimensional medit. Els teseractos es doblen, la 16-celes, són l'equivalent de l'octaedre, puix són abdós politopos de creu. Els politopos de 120 celes i els de 600 celes es doblen d'igual modo, i són anàlecs al dodecaedre i a l'icosaedre, respectivament. El de 24 celes és un policrono regular únic i que no té cap equivalent tridimensional. A penes puix l'esfera, o 2-esfera, és una superfície de dos dimensions curvada composta de tots els punts equidistants d'un punt central dau, en un espai tridimensional, la 3-esfera, una classe de hiperesfera, és l'espai que conté tots els punts equidistants a un punt central dau, en un espai cuadridimensional. Cada secció travessera tridimensional d'un 3-esfera és un 2-esfera.

Pogamos un eixemple: en un hiperplano(un pla que representa tres dimensions com un full) es pot representar una quarta dimensió com la prolongació del pla en la tercera. La fòrmula d'una esfera 2D seria R² = x² + i²; en tres, R² = x² + i² + z² aixina, podríem seguir en una quarta, R²= x² + i² + z² + w² i per tant si rebugem per a poder adaptar-ho al nostre món.

                                         (R2-w2)= x2+i2+z2

Analogia dimensional

La analogia dimensional s'usa freqüentment per a comprendre el bot d'una dimensió (en este cas, la tercera dimensió) a una més alta (quarta dimensió). L'analogia dimensional consistix en resoldre un problema en n + 1 dimensions relacionant-ho primer en un problema anàlec de (n - 1) dimensió, val dir, "una dimensió menys". I igualment deu analisar-se el cas de cóm es relaciona el problema en n en el de (n + 1) dimensions, és dir, "una més".

Eixemples

Edwin Abbott Abbott en el seu llibre Planilandia (Flatland) escriu sobre un "ser quadrat" que viu en un món de dos dimensions, com la superfície d'un péntol de paper. Este "quadrat" s'enfronta a experiments d'un ser tridimensional. El ser tridimensional és percebut per el "quadrat" com un ser aparentment diví, ya que pot posar i llevar objectes d'una caixa forta sense trencar-la ni obrir-la (movent-los a través de la seua tercera dimensió), vore tot des de de la perspectiva de dos dimensions siga inclós darrere de les parets (lloc que veu "sobre" Planilandia), i totalment invisible per als habitants de Planilandia, ya que està "dalt" i una dimensió per dalt de les dos dimensions en les que el quadrat està atrapat. No obstant, el ser tridimensional podria manifestar-se en el món de dos dimensions, pero solament parcialment, si fora una esfera, apareixeria com una seqüència de círculs successius "que canvien de tamany" (interseccions de l'esfera en el pla de dos dimensions). Aplicant analogia dimensional, un pot deduir que el ser cuatridimensional seria capaç d'ardits similars de la nostra perspectiva tridimensional.

Rudy Rucker demostra açò en la seua novela "Spaceland", en la qual el protagoniste troba els sers tetradimensionales que demostren tals energies. Un us útil de l'analogia dimensional en visualisar la quarta dimensió està en la proyecció. Una proyecció és una manera per a representar un objecte (n+1)-dimensional en la n-dimensió. Per eixemple, les pantalles de computadora són de dos dimensions, i totes les fotografies d'objectes tridimensionals són representades en dos dimensions posat que l'informació de la tercera dimensió (o de la profunditat) no pot ser representada per la pantalla (si l'observador es mou, allunte o acoste, l'image no canviarà). En este cas, la profunditat es lleva i es substituye per la informació indirecta. La retina de l'ull és una atarassana de dos dimensions de receptors, pero pot permetre que el cervell perceba la naturalea d'objectes tridimensionals usant l'informació indirecta (com la perspectiva, el sombreado, visió binocular, etc.).

La perspectiva de l'us dels artistes dona profunditat tridimensional als quadros de dos dimensions. Aixina mateix, els objectes en la quarta dimensió es poden proyectar matemàticament a les familiars tres dimensions, a on poden llavors ser examinats més convenientment. En este cas, la "retina d'un ull cuadridimensional" tindria una atarassana de receptors tridimensionals. El ser hipotètic en tal ull percebria la naturalea d'objectes cuatridimensionales usant l'informació indirecta continguda en les imàgens que rep en la seua retina. La proyecció de la perspectiva a partir de quatre dimensions produïx efectes similars com en el cas tridimensional, tal com la perspectiva.

Açò agrega "profunditat cuadridimensional" a estos quadros tridimensionals. L'analogia dimensional també ajuda a entendre tals proyeccions. Per eixemple, els objectes de dos dimensions són llimitats per llímits unidimensionals: un quadrat és llimitat per quatre vores o llínees. Els objectes tridimensionals són llimitats per superfícies de bidimensionales: una gaveta és llimitada per 6 quadrats. Aplicant analogia dimensional, un pot deduir que una gaveta cuatridimensional, conegut com teseracto, és llimitat pels volums tridimensionals.

I de fet, est és el cas matemàticament: el teseracto és llimitat per 8 gavetes. Saber açò és indispensable per a entendre cóm interpretar una proyecció tridimensional del teseracto. Els llímits del teseracto proyecten als volums en l'image, superfícies no simplement de dos dimensions. Açò ajuda a entendre les característiques de dites dimensions que d'una atra manera solament confondrien.

Eixint de la lliteratura, una analogia en el concepte d'ombres pot ajudar millor a entendre la teoria de quatre dimensions. Si vosté proyectara una llum sobre objecte tridimensional, est proyectaria una ombra de dos dimensions. Per lo tant la llum en un objecte de dos dimensions tiraria una ombra unidimensional (en un món de dos dimensions), i la llum en un objecte unidimensional en un món unidimensional tiraria una ombra zero-dimensional, és dir, un punt de la no-llum. Esta idea es pot utilisar en l'atra direcció; la llum en un objecte cuadridimensional proyectaria una ombra tridimensional. Com a eixemple, l'ombra d'una gaveta transparent, proyectaria una ombra sobre el paper, de dos quadrats, units pels seus vèrtiços en 4 segments.

Semejantement, si era una gaveta cuatridimensional allumenat en llum de 4 dimensions, la seua ombra seria la d'una gaveta tridimensional dins d'una atra gaveta tridimensional. Sent tridimensionals podem solament vore el món en els nostres ulls en dos dimensions; el ser cuatridimensional consideraria el món en tres. Aixina podria, per eixemple, vore els sis costats d'una caixa opaca simultàneament. No solament això; també podria vore lo que hi ha l'interior de la caixa, com en Planilandia, en a on l'esfera veu objectes en el món de dos dimensions i tot dins d'ells simultàneament. Anàlec, un espectador cuadridimensional voria tots els punts en el nostre espai tridimensional simultàneament, incloent l'estructura interna d'objectes sòlits i de coses obscurecidos del nostre punt de vista.