Icositetracoron

En geometria, el icositetracoro o 24-cell (abdós térmens s'usen en este artícul en forma intercanviable) és el 4-politopo regular convex en símbol de Schläfli {3,4,3}. El icositetracoro és l'únic politopo regular convex de 4 dimensions que carix d'un bon anàlec tridimensional.

Proyecció ortogràfica d'un 24-cell en dos dimensions.

Geometria

La envoltura del 24-cell es compon de 24 celes en forma d'octaedre, sis de les quals es troben en cada vèrtiç. En conjunt tenen 96 cares triangulars, 96 costats i 24 vèrtiços. La figura del vèrtiç és un gaveta. El icositetracoro és auto-dual, fent-ho l'únic politopo regular auto-dual que no és un polígon ni un símplex.

Proyecció d'un icositetracoro en rotació.

Construccions

Els vèrtiços d'un 24-cell centrats en l'orige d'un espai tetradimensional, en costats de llongitut 1, poden donar-se com seguix: 8 vèrtiços que s'obtenen permutant

(±1, 0, 0, 0)

i 16 vèrtiços de la forma

(±½, ±½, ±½, ±½)

Note's que els primers huit vèrtiços són els de un 16-cell regular, i els atres 16 són els de el teseracto dual. Una construcció anàloga en l'espai tridimensional dona el dodecaedre ròmbic que, no obstant, no és regular. Podem continuar dividint els últims 16 vèrtiços en dos grups: els que tenen un número par de signes "menys" (−) i els que tenen un número impar. Cada grup de huit vèrtiços també definix un 16-cell regular. Els vèrtiços del 24-cell poden llavors ser agrupats en tres conjunts de huit, cada u dels quals definix un 16-cell regular, i el seu complement definix el hipercubo dual.

Els vèrtiços del 24-cell dual estan determinats per les permutació de

(±1, ±1, 0, 0)

El 24-cell dual té costats de llongitut $\sqrt{2}$ i està inscrit en una esfera tetradimensional (3-esfera) de radi $\sqrt{2}$.

Un atre método de construir un 24-cell és per rectificació d'un 16-cell. La figura del vèrtiç del 16-cell és un octaedre; per lo tant, tallant els vèrtiços del 16-cell pel punt mig dels seus costats incidents produïx 8 celes octaèdriques. Este procés també rectifica les celes tetraèdriques del 16-cell, que també es convertixen en octaedres, formant les 24 celes octaèdriques de l'icositetracoro.

Simetria

Els 24 vèrtiços de l'icositetracoro i el seu dual formen el sistema de raïls de tipo F₄. Els 24 vèrtiços del dual per sí formen el sistema de raïls de tipo D₄. Quan li'ls interpreta com cuaterniones la retícula de raïls F₄ és tancada baix la multiplicació per lo tant forma un anell. Est és l'anell dels Cuaterniones integrals de Hurwitz. Els vèrtiços del 24-cell formen el grup d'unitats (és dir, el grup d'elements invertibles) en l'anell de cuaterniones de Hurwitz, grup també conegut com a grup binari tetraèdric. Els vèrtiços del 24-cell són precisament els vintiquatre cuaterniones de Hurwitz en norma al quadrat 1, i els vèrtiços del 24-cell dual són aquells en norma al quadrat 2.

El grup de simetria de l'icositetracoro és el grup de Weyl de F₄. Est és un grup soluble d'orde 1152.

Teselaciones

Es pot teselar l'espai euclidiano de quatre dimensions per mig de 24-cells regulars. El símbol de Schläfli d'esta teselació és {3,4,3,3}. La teselació dual, {3,3,4,3}, és una per als 16-cells regulars. Junt en la teselació del hipercubo regular, {4,3,3,4}, són les úniques teselaciones regulars de R⁴. La teselació per icositetracorones regulars pot descriure's en térmens de la retícula en F₄: els 24-cells estan centrats en els punts en norma al quadrat parell (la subretícula D₄), i els vèrtiços formen el conjunt de tots els punts en norma al quadrat impar. Cada 24-cell té 24 veïns en els que compartix un octaedre i 32 veïns en els que compartix un únic punt. En esta teselació, huit icositetracoros es troben en qualsevol vèrtiç determinat.

Talle seccional animat d'un 24-cell.

Proyeccions

La proyecció paralela en els vèrtiços primer del 24-cell en espai tridimensional té una envoltura ròmbic-dodecaédrica. Dotze de les 24 celes octaèdriques es proyecten en parells sobre sis dipirámides quadrades que es troben en el centre del dodecaedre ròmbic. Les 12 celes restants es proyecten sobre les 12 cares ròmbiques del dodecaedre ròmbic.

La proyecció perspectiva en els vèrtiços primer del 24-cell en l'espai tridimensional té una envoltura en forma de Tetraquishexaedro. La disposició de les celes en esta image és similar a l'image baix proyecció paralela.

La proyecció paralela en les celes primer del 24-cell en l'espai tridimensional té una envoltura en forma de cuboctaedro. Dos de les celes octaèdriques, la més propenca i la més lluntana de l'observador a lo llarc de l'eix W, es proyecten en un octaedre els vèrtiços del qual yacer en el centre de les cares quadrades del cuboctaedro. Rodejant este octaedre central yacer les proyeccions d'atres 16 celes, formant 8 parells cada u dels quals es proyecta sobre un dels huit volums que yacer entre una cara triangular de l'octaedre central i la cara triangular més propenca del cuboctaedro. Les 6 celes restants es proyecten sobre les cares quadrades del cuboctaedro.