Proyecció vectorial

Proyecció de

a

sobre

b

(a₁), i restant de

a

respecte a

b

(a₂)

Archiu:Projection and rejection 2.png

Quan

90° < θ \leq 180°

,

a 1

té una direcció oposta sobre

b

La proyecció vectorial (també coneguda com a component vectorial o resolució vectorial) d'un vector $a$ sobre (o respecte a) un vector $b$ distint de zero, a voltes denotat com ${proj}_{𝐛} 𝐚$ , és l'operador de proyecció de $a$ sobre una recta paralela a $b$ . És un vector paralel a $b$ , formulat com $𝐚_{1} = a_{1} \hat{𝐛}$ , a on $a_{1}$ és un escalar, cridat proyecció escalar de $a$ sobre $b$ , i $b̂$ és el vector unitari en la direcció de $b$ .

A la seua volta, la proyecció escalar es definix com:^[1]

a_{1} = ‖ 𝐚 ‖ \cos θ = 𝐚 \cdot \hat{𝐛}

a on l'operador ⋅ denota un producte escalar, ‖a‖ és la llongitut de $a$ i θ és l'àngul entre $a$ i $b$ .

La proyecció escalar és igual en valor absolut a la llongitut de la proyecció vectorial, en un signe menys si la direcció de la proyecció és oposta a la direcció de $b$ , és dir, si els dos vectores es troben en semiespacios diferents, o si les direccions d'abdós es troben en diferents hemisferis.

La proyecció vectorial es pot reescriure en térmens únicament dels vectores d'entrada com:

𝐚_{1} = (𝐚 \cdot \hat{𝐛}) \hat{𝐛} = \frac{𝐚 \cdot 𝐛}{‖ 𝐛 ‖} \frac{𝐛}{‖ 𝐛 ‖} = \frac{𝐚 \cdot 𝐛}{{‖ 𝐛 ‖}^{2}} 𝐛 = \frac{𝐚 \cdot 𝐛}{𝐛 \cdot 𝐛} 𝐛 .

El component vectorial o vector resolt de $a$ perpendicular a $b$ , a voltes també cridat vector reste (traducció aproximada del terme anglés "vector rejection") de $a$ de $b$ (denotat ${oproj}_{𝐛} 𝐚$ ),^[2] és la proyecció ortogonal de $a$ sobre el pla (o, en general, hiperplano) ortogonal a $b$ . Com tant la proyecció $a 1$ com el restant $a 2$ d'un vector $a$ sò vectores i la seua suma és igual a $a$ , açò implica que el restant ve dau per: $𝐚_{2} = 𝐚 - 𝐚_{1} .$

Notació

Normalment, una proyecció vectorial s'indica en negreta (per eixemple, $a 1$ ) i la proyecció escalar corresponent en font normal (per eixemple, a₁). En alguns casos, especialment en escritura a mà, la proyecció vectorial també s'indica usant un signe diacrític damunt o baix de la lletra (per eixemple, ${\vec{a}}_{1}$ o <o>a</o>₁). La proyecció vectorial de $a$ sobre $b$ i el restant corresponent a voltes es denoten per $a ∥ b$ i $a ⊥ b$ , respectivament.

Definicions basades en l'àngul θ

Proyecció escalar

Artícul principal → Proyecció escalar.

La proyecció escalar de $a$ sobre $b$ és un escalar igual a:

a_{1} = ‖ 𝐚 ‖ \cos θ,

a on θ és l'àngul entre $a$ i $b$ .

Es pot utilisar una proyecció escalar com factor d'escala per a calcular la proyecció vectorial corresponent.

Proyecció vectorial

La proyecció vectorial de $a$ sobre $b$ és un vector la magnitut del qual és la proyecció escalar de $a$ sobre $b$ en la mateixa direcció que $b$ . És dir, es definix com

𝐚_{1} = a_{1} \hat{𝐛} = (‖ 𝐚 ‖ \cos θ) \hat{𝐛}

a on $a_{1}$ és la proyecció escalar corresponent, com es va definir anteriorment, i $\hat{𝐛}$ és el vector unitari en la mateixa direcció que $b$ :

\hat{𝐛} = \frac{𝐛}{‖ 𝐛 ‖}

Restant vectorial

Per definició, el vector reste de $a$ sobre $b$ és:

𝐚_{2} = 𝐚 - 𝐚_{1}

i per lo tant:

𝐚_{2} = 𝐚 - (‖ 𝐚 ‖ \cos θ) \hat{𝐛}

Vore també

Referències

↑ «Scalar and Vector Projections».
↑ Perwass, G. (2009). Geometric Algebra With Applications in Engineering, p. 83. ISBN 9783540890676.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Proyección vectorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:1-1] «Scalar and Vector Projections».

[2] Perwass, G. (2009). Geometric Algebra With Applications in Engineering, p. 83. ISBN 9783540890676.

[1]

[2]