Producte interior

En matemàtiques, el producte interior (també conegut com derivada interior, multiplicació interior, operador d'inserció o derivació interna) és una (anti)derivació de grau−1 en l'àlgebra exterior de formes diferencials en una varietat diferenciable. El producte interior, nomenat aixina en oposició al producte exterior, no deu confondre's en un espai prehilbertiano. El producte interior ι_Xω a voltes s'escriu com X ⨼ ω.

Definició

El producte interior es definix com la contracció d'una forma diferencial en un camp vectorial. Per tant, si X és un camp vectorial en una varietat M, llavors

${\iota }_X:{\Omega }^p(M)\to {\Omega }^{p-1}(M)$

és l'aplicació que envia una p-forma ω a la (p−1)-forma ι_Xω definida per la propietat de que

$({\iota }_X\omega )(X_1,\dots ,X_{p-1})=\omega (X,X_1,\dots ,X_{p-1})$

per a qualsevol camp vectorial X₁, ..., X_p−1.

El producte interior és l'única antiderivación de grau −1 en l'àlgebra exterior, de modo que en un-formes α

${\iota }_X\alpha =\alpha (X)=⟨\alpha ,X⟩$,

a on ⟨ , ⟩ és l'emparejamiento dual entre α i el vector X. Explícitament, si β és una forma p, llavors

${\iota }_X(\beta \wedge \gamma )=({\iota }_X\beta )\wedge \gamma +(-1{)}^p\beta \wedge ({\iota }_X\gamma ).$

La relació anterior indica que el producte interior obedix a una regla de Leibniz calificada. Una operació que satisfà la linealidad junt en una regla de Leibniz es diu derivació.

Propietats

Per antisimetría de formes,

${\iota }_X{\iota }_Y\omega =-{\iota }_Y{\iota }_X\omega$

i llavors ${\iota }_X\circ {\iota }_X=0$. Açò es pot comparar en la derivada exterior d, que té la propietat de que d ∘ d = 0.

El producte interior relaciona la derivada exterior i la derivada de Lie de formes diferencials per la fòrmula de Cartan (també coneguda com a identitat de Cartan , fòrmula de homotopía de Cartan o fòrmula màgica de Cartan):

${ℒ}_X\omega =d({\iota }_X\omega )+{\iota }_{X}d\omega =\{d,{\iota }_X\}\omega .$

Esta identitat definix una dualitat entre les derivades exterior i interior. L'identitat de Cartan és important en topología simpléctica i relativitat general: consulte's l'aplicació moment. La fòrmula de homotopía de Cartan du el nom d'Élie Cartan.

El producte interior sobre el commutador de dos camps vectorials $X$, $Y$ satisfà l'identitat

${\iota }_{[X,Y]}=[{ℒ}_X,{\iota }_Y].$

Vore també

• Producte de Cap
• Espai prehilbertiano
• Contracció tensorial

Bibliografia

• Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction; Cambridge University Press, 3rd ed. 2011
• Loring W. El teu, An Introduction to Manifolds, 2i, Springer. 2011. doi:10.1007/978-1-4419-7400-6