Àlgebra graduada

Archiu:Algebraic structures.png

Àlgebra abstracta, diagrames en anglés, diagrames de Hasse

En matemàtiques, en particular en àlgebra abstracta, un àlgebra graduada és un àlgebra sobre un cos, o més en general R-àlgebra, en la qual hi ha una noció consistent del pes d'un element. L'idea és de que els pesos dels elements se sumixen, quan es multipliquen els elements. Encara que es té que permetre l'adició 'inconsistente' d'elements de diversos pesos. Una definició formal seguix.

Siga G un grup abeliano. un àlgebra G-graduada és un àlgebra en la descomposició en suma directa

$A=\underset{i\in G}{⨁}{A}_i$

tal que

$A_i{A}_j\subseteq A_{i+j}$

Un element de l'i-ésimo subespacio A_i es diu element de grau i homogéneu o pur.

Els eixemples importants d'àlgebra graduades inclouen les àlgebra tensoriales T(V) d'un espai vectorial V aixina com les àlgebra exteriors ΛV que són abdós Z-graduades.

Les àlgebras de Clifford i les super àlgebras són eixemples de àlgebra Z₂-graduades. Ací els elements homogéneus són parells (grau 0) o impars (el grau 1). Les àlgebra graduades també s'utilisen molt en àlgebra comutativa, geometria algebraica, àlgebra homológica i topología algebraica.