Derivada exterior

En matemàtiques, l'operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topología diferencial, amplia el concepte del diferencial d'una funció a formes diferencials d'un grau més alt. Va ser inventat, en la seua forma actual, per Élie Cartan.

Definició

La derivada exterior d'una forma diferencial de grau $k$ és una forma diferencial de grau $k+1$. La diferenciació exterior satisfà tres propietats importants:

• $\text{d}f$ és el diferencial de $f$ per a qualsevol 0-forma $f$ (funcions de la classe C^∞).

• ${\text{d}}^2=0$, dit d'un atre modo, que sempre: $\text{d}(\text{d}\omega )=0$, per a qualsevol forma $\omega$.

• La regla del producte cunya:

$d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1{)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\omega }(\omega \wedge d\eta )$.

Pot ser demostrat que la derivada exterior està determinada unívocamente per estes propietats i la seua coincidència en el diferencial en 0-formes (funcions).

Els casos especials de la diferenciació exterior corresponen als operadors diferencials familiars del càlcul vectorial a lo llarc de les mateixes llínees que el diferencial correspon a gradient. Per eixemple, en l'espai euclidiano tridimensional, la derivada exterior d'una 1-forma correspon al rotacional i la derivada exterior de 2-formes correspon a la divergència. Esta correspondència mostra més d'una dotzena de fòrmules del càlcul vectorial com a casos especials de les tres regles antedichas de la diferenciació exterior. El núcleu de l'operador $d$ consistix en les formes tancades, i l'image en les formes exactes (cf. diferencials exactes).

Vore també

• Derivada de Lie
• Formes diferencials tancades i exactes