Torsió (àlgebra)

En àlgebra abstracta el terme torsió es referix als elements d'orde finito d'un grup i als elements de mòduls anulats per elements regulars d'un anell.

Definició

Un element m d'un mòdul M sobre un anell R és cridat un element de torsió del mòdul si existix un element regular r de l'anell que anula m, és dir r m = 0. En el cas especial en que R és un domine sancer (és dir un anell conmutativo sense divisores de zero), tot element distint de zero és regular, llavors un element de torsió d'un mòdul M sobre un domini sancer R és aquell que és eliminat per un element distint de zero en l'anell.

Un R-mòdul M és cridat mòdul de torsió si tots els seus elements són elements de torsió. Per un atre costat, M és cridat mòdul lliure de torsió si zero és l'únic element de torsió. Si l'anell R és un domini sancer llavors el conjunt de tots els elements de torsió forma un submòdul de M anomenat el submòdul de torsió de M, a voltes es denota T(M). Si R no és conmutativo, T(M) pugues no ser un submòdul. En Plantilla:Harv es demostra que R és un Anell d'Ore dret si i solament si T(M) és un submòdul de M per a tots els R-mòduls drets. Com els dominis noetherianos drets són anells d'Ore, açò cobrix el cas quan R és un domini noetheriano dret (que podria ser no conmutativo).

Més generalment, siga M un R-mòdul i S un magma multiplicativo de R. Un element m de M és cridat un element de S-torsion si existix un element s en S tal que s anula m, és dir s m = 0. En especial un pot prendre S com el set dels elements regulars de l'anelle R i recobrar la definició anterior.

Un element g d'un grup G és cridat un element de torsi̟ón del grup si té orde finito, és dir si existix un sancer positiu m tal que g^m = i, a on i denota l'identitat en el grup, i g^m denota el producte de m copies de g. Un grup és cridat grup de torsió si tots els seus elements són elements de torsió, i és cridat grup lliure de torsió si el seu únic element de torsió és l'identitat. Tot grup abeliano pot ser vist com un Z-mòdul, i en este cas les dos nocions de torsió coincidixen.

Referències

• Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• Irving Kaplansky, "Infinite abelian groups", University of Michigan, 1954.
• Plantilla:Springer
• (2007).«Exercises in modules and rings».Springer.

xviii+412.doi:10.1007/978-0-387-48899-8.