Teorema de la funció implícita

En anàlisis matemàtic, la teorema de la funció implícita establix condicions suficients, baix les quals una equació o conjunt d'equacions de vàries variables permet definir a una d'elles o vàries d'elles com funció de les demés.

Una funció i(x) està donada de forma implícita quan està definida de la forma $F (x, y) = 0$ , en lloc d'estar-ho en la seua forma explícita, $y = f (x)$ , més habitual. Donada l'equació $F (x, y) = 0$ (lo que es coneix com a funció implícita), baix certes exigències sobre la derivada de F podríem, a lo manco localment, rebujar $y = f (x)$ .

Per eixemple, pot provar-se que la següent equació definix una funció implícita en certa regió o un obert de $ℝ^{2}$ entre les variables x i i:

És dir, la teorema establix que existix una funció $y = f (x)$ que substituïda en l'equació anterior, la convertix en una identitat matemàtica.

Eixemples

La circumferència unitària pot representar-se per l'equació implícita

x^{2} + y^{2} - 1 = 0

. Al voltant del punt A, podrem expressar i com una funció

y (x) = \sqrt{1 - x^{2}}

. Pero no existirà una funció similar en un entorn del punt B.

Abans d'enunciar la teorema, considere la funció

f : A \subseteq ℝ^{2} \to ℝ

(x, y) \mapsto x^{2} + y^{2}

Si considerem l'equació $f (x, y) = 0$ , llavors la funció admet com preimágenes tots els vectores $(x, y)$ que resolen esta equació: $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 0$ . Per açò, no és possible rebujar globalment una variable en térmens de l'atra i per lo mateix no és possible determinar cóm canvia una variable en funció de l'atra, a lo manco no globalment pero sí en un entorn de $(x_{0}, y_{0})$ . (L'únic vector factible $(x_{0}, y_{0})$ en la preimagen és $(0, 0)$ ).

Un atre eixemple més complex seria el següent:

Pot vore's que si per a valors de $(z, u)$ propencs al punt $(0, 1)$ existixen dos funcions $x = f_{1} (z, u)$ i $y = f_{2} (z, u)$ tals que es complix automàticament per a punts d'un entorn obert:

Enunciat general

L'enunciat general és com seguix:

Teorema (de la Funció Implícita)

Sean $f : A \subseteq ℝ^{m + n} \to ℝ^{n}$ una funció contínuament diferenciable i $(a, b) \in ℝ^{m + n}$ qualsevol vector tal que $f (a, b) = 0$ . Considere $(x, y) \in ℝ^{m + n}$ i definixca la matriu jacobiana $D F (a, b) = [D_{x} f (a, b), D_{y} f (a, b)]$ i sobre esta considere que la submatriz que definix $[D_{y} f (a, b)]$ és invertible. Llavors existixen els conjunts oberts $U \subseteq ℝ^{m + n}$ i $W \subseteq ℝ^{m}$ en $(a, b) \in U$ i $a \in W$ tals que per a cada $x \in W$ existix un únic $y$ tal que $(x, y) \in U$ i $f (x, y) = 0$ lo que definix una funció $g : W \to ℝ^{n}$ que és contínuament diferenciable i que ademés verifica

ademés

a on $g (a) = b$ .

Demostració:

Definim $H : ℝ^{m + n} \to ℝ^{n + m}$ de modo que $H : (x, y) \to (x, f (x, y))$ , d'esta manera $H (a, b) = (a, 0)$ .

Intentarem vore que $H$ siga inversible.

Clarament $H$ és contínuament diferenciable, puix $f$ lo és, aixina que vejam que $H^{'} (a, b)$ és invertible, és decír, que $\det H^{'} (a, b) \neq 0$ .

Que vista per blocs equival a tindre:

A on clarament $H$ és invertible, puix per hipòtesis $[D_{y} f (a, b)]$ és invertible.

⇒ $\exists$ $U, V$ entorns oberts en $ℝ^{m + n}$ tal que $(a, b) \subset U$ , $(a, 0) \subset V$ , en a on $H$ té inversa $H^{- 1} : V \to U$ contínuament diferenciable.

Sean $P_{1}$ i $P_{2}$ les proyeccions de $ℝ^{m + n}$ en $ℝ^{m}$ i $ℝ^{n}$ respectivament, d'esta manera;

$P_{1} (x, y) = x$ $P_{2} (x, y) = y$ $x = (x_{1} \dots x_{m})$ ; $y = (y_{1} \dots y_{n})$

Cridem $L : ℝ^{m} \to ℝ^{n + m}$ tal que $L (x) = (x, 0)$

de topología acceptem que si $(p, q) \in Ω$ obert $\Rightarrow \exists ϵ_{1}, ϵ_{2}$ tal que $(p, q) \in B (p, ϵ_{1}) \times B (q, ϵ_{2}) \subset Ω$ .

Desgotem els entorns $U$ i $V$ a $\tilde{U}$ , $\tilde{V}$ de modo que $\tilde{V} = B (a, ϵ_{1}) \times B (b, ϵ_{2})$ .

Definim aixina $f$ , de modo que $g = P_{2} o H^{- 1} o L$ en $W = P_{1} (\tilde{V}) = B (a, ϵ_{1})$

Després $H^{- 1} (x, 0) = (x, y) = (P_{1} (H^{- 1} (x, 0)), P_{2} (H^{- 1} (x, 0))) = (x, g (x))$

Aplicant $H$ en abdós membres; $(x, 0) = H (x, g (x))$ ; per definició de $H$ ; $H (x, g (x)) = (x, f (x, g (x)))$ , en $(a, b)$ , $(a, 0) = (a, f (a, g (a))) \Rightarrow f (a, g (a)) = 0$

Després com $f$ és contínuament diferenciable, per ser composició de funcions contínuament diferenciables, derivant i per regla de la cadena, podem vore que;

$0 = [𝐃_{x} f (x, g (x))] + [𝐃_{y} f (x, g (x))] . D g (x)$

I ràpidament comprovar que;

$D g (x) = - [𝐃_{y} f (x, g (x))]^{- 1} [𝐃_{x} f (x, g (x))] x \in W$

$◻$

Vore també

Teorema de la funció inversa

Referències

Per a una demostració en detalls vore:

Alejandro Jofré, Patricio Felmer, Paul Bosch,g Matías Bulnes, Arturo Prat, Luis Rademacher, José Zamora, i Maurici Vargas. "Càlcul en Vàries Variables - Apunt Complet" (2011). Disponible en: http://docencia.dim.uchile.cl/calculo_vv/material/apunte_cvv_felmer-jofre.pdf (pàgina 151).

Bibliografia

Per a una colecció d'eixemples:

Bombal, Marin & Vora: Problemes d'Anàlisis matemàtic: Càlcul Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de la función implícita» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.