Teorema de la funció implícita

Teorema de la funció implícita

En anàlisis matemàtic, la teorema de la funció implícita establix condicions suficients, baix les quals una equació o conjunt d'equacions de vàries variables permet definir a una d'elles o vàries d'elles com funció de les demés.

Una funció i(x) està donada de forma implícita quan està definida de la forma $F(x,y)=0$, en lloc d'estar-ho en la seua forma explícita, $y=f(x)$, més habitual. Donada l'equació $F(x,y)=0$ (lo que es coneix com a funció implícita), baixe certes exigències sobre la derivada de F podríem, a lo manco localment, rebujar $y=f(x)$.

Per eixemple, pot provar-se que la següent equació definix una funció implícita en certa regió o un obert de ${ℝ}^2$ entre les variables x i i:

És dir, la teorema establix que existix una funció $y=f(x)$que substituïda en l'equació anterior, la convertix en una identitat matemàtica.

Eixemples

La circumferència unitària pot representar-se per l'equació implícita $x^2+y^2-1=0$. Al voltant del punt A, podrem expressar i com una funció $y(x)=\sqrt{1-x^2}$. Pero no existirà una funció similar en un entorn del punt B.

Abans d'enunciar la teorema, considere la funció

$f:A\subseteq {ℝ}^2\to ℝ$

$(x,y)\mapsto x^2+y^2$

Si considerem l'equació $f(x,y)=0$, llavors la funció admet com preimágenes tots els vectores $(x,y)$ que resolen esta equació: $x_0^2+y_0^2=0$. Per açò, no és possible rebujar globalment una variable en térmens de l'atra i per lo mateix no és possible determinar cóm canvia una variable en funció de l'atra, a lo manco no globalment pero sí en un entorn de $(x_0,y_0)$. (L'únic vector factible $(x_0,y_0)$ en la preimagen és $(0,0)$).

Un atre eixemple més complex seria el següent:

Pot vore's que si per a valors de $(z,u)$ propencs al punt $(0,1)$ existixen dos funcions $x=f_1(z,u)$ i $y=f_2(z,u)$ tals que es complix automàticament per a punts d'un entorn obert:

Enunciat general

L'enunciat general és com seguix:

Teorema (de la Funció Implícita)

Sean $f:A\subseteq {ℝ}^{m+n}\to {ℝ}^n$ una funció contínuament diferenciable i $(a,b)\in {ℝ}^{m+n}$ qualsevol vector tal que $f(a,b)=0$ . Considere $(x,y)\in {ℝ}^{m+n}$ i definixca la matriu jacobiana $DF(a,b)=[D_{x}f(a,b),D_{y}f(a,b)]$ i sobre esta considere que la submatriz que definix $[D_{y}f(a,b)]$ és invertible. Llavors existixen els conjunts oberts $U\subseteq {ℝ}^{m+n}$ i $W\subseteq {ℝ}^m$ en $(a,b)\in U$ i $a\in W$ tals que per a cada $x\in W$ existix un únic $y$ tal que $(x,y)\in U$ i $f(x,y)=0$ lo que definix una funció $g:W\to {ℝ}^n$ que és contínuament diferenciable i que ademés verifica

ademés

a on $g(a)=b$.

Demostració:

Definim $H:{ℝ}^{m+n}\to {ℝ}^{n+m}$ de modo que $H:(x,y)\to (x,f(x,y))$, d'esta manera $H(a,b)=(a,0)$.

Intentarem vore que $H$ siga inversible.

Clarament $H$ és contínuament diferenciable, puix $f$ lo és, aixina que vejam que $H^{\prime }(a,b)$ és invertible, és decír, que $\det H^{\prime }(a,b)\ne 0$.

Que vista per blocs equival a tindre:

A on clarament $H$ és invertible, puix per hipòtesis $[D_{y}f(a,b)]$ és invertible.

⇒ $\mathrm{\exists }$ $U,V$ entorns oberts en ${ℝ}^{m+n}$ tal que $(a,b)\subset U$, $(a,0)\subset V$, en a on $H$ té inversa $H^{-1}:V\to U$ contínuament diferenciable.

Sean $P_1$ i $P_2$ les proyeccions de ${ℝ}^{m+n}$ en ${ℝ}^m$ i ${ℝ}^n$ respectivament, d'esta manera;

$P_1(x,y)=x$ $P_2(x,y)=y$ $x=(x_1\cdots x_m)$ ; $y=(y_1\cdots y_n)$

Cridem $L:{ℝ}^m\to {ℝ}^{n+m}$ tal que $L(x)=(x,0)$

D'topología acceptem que si $(p,q)\in \Omega$ obert $\Rightarrow \mathrm{\exists }{ϵ}_1,{ϵ}_2$ tal que $(p,q)\in B(p,{ϵ}_1)\times B(q,{ϵ}_2)\subset \Omega$.

Desgotem els entorns $U$ i $V$ a $\tilde{U}$,$\tilde{V}$ de modo que $\tilde{V}=B(a,{ϵ}_1)\times B(b,{ϵ}_2)$.

Definim aixina $f$, de modo que $g=P_{2}o{H}^{-1}oL$ en $W=P_1(\tilde{V})=B(a,{ϵ}_1)$

Després $H^{-1}(x,0)=(x,y)=(P_1(H^{-1}(x,0)),P_2(H^{-1}(x,0)))=(x,g(x))$

Aplicant $H$ en abdós membres; $(x,0)=H(x,g(x))$; per definició de $H$; $H(x,g(x))=(x,f(x,g(x)))$, en $(a,b)$, $(a,0)=(a,f(a,g(a)))\Rightarrow f(a,g(a))=0$

Després com $f$ és contínuament diferenciable, per ser composició de funcions contínuament diferenciables, derivant i per regla de la cadena, podem vore que;

$0=[{𝐃}_{x}f(x,g(x))]+[{𝐃}_{y}f(x,g(x))].Dg(x)$

I ràpidament comprovar que;

$Dg(x)=-[{𝐃}_{y}f(x,g(x)){]}^{-1}[{𝐃}_{x}f(x,g(x))]x\in W$

$◻$

Vore també

• Teorema de la funció inversa

Referències

Per a una demostració en detalls vore:

• Alejandro Jofré, Patricio Felmer, Paul Bosch,g Matías Bulnes, Arturo Prat, Luis Rademacher, José Zamora, i Maurici Vargas. "Càlcul en Vàries Variables - Apunt Complet" (2011). Disponible en: http://docencia.dim.uchile.cl/calculo_vv/material/apunte_cvv_felmer-jofre.pdf (pàgina 151).

Bibliografia

Per a una colecció d'eixemples:

• Bombal, Marin & Vora: Problemes d'Anàlisis matemàtic: Càlcul Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.