Operador de Laplace-Beltrami

En geometria diferencial, el operador de Laplace, en honor de Pierre-Simon Laplace, es pot generalisar per a operar en les funciones definides sobre superfícies en l'Espai euclídeo i, més en general, en el Riemann i pseudo-riemanniana. Este operador més general es coneix en el nom de Operador de Laplace-Beltrami, en honor de Laplace i d'Eugenio Beltrami. De la mateixa manera que l'operador Laplaciano, l'operador de Laplace-Beltrami es definix com la divergència del gradient, i és un operador llineal tenint funcions en funcions. L'operador pot estendre's a operar en els tensors com la divergència de la derivada covariant. Alternativament, l'operador pot ser generalisat per a operar en formes diferencials utilisant la divergència i derivada exterior. L'operador resultant es diu l'operador de Laplace-de Rham (el nom de Georges de Rham ).

Detalls

L'operador de Laplace-Beltrami, com el Laplaciano, és la divergència del gradient :

$\Delta f=\mathrm{div}\mathrm{grad}f.$

Una fòrmula explícita en coordenades locals és possible.

Supongam primer que M és una varietat de Riemann orientada. L'orientació permet especificar una clara forma de volum de M, donada en un sistema de coordenades orientat xⁱ per

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n:=\sqrt{|g|}d{x}^1\wedge \dots \wedge d{x}^n$

a on el dxⁱ són les 1-formes que formen la base dual als vectores de la base

${\partial }_i:=\frac{\partial }{\partial x^i}$

i $\wedge$ és el producte exterior . Ací |g| := |det(g_ij)| és el valor absolut del determinant del tensor mètric g ij. La divergència div X d'un camp vectorial X en el colector es definix llavors com la funció escalar en la propietat

$(\text{div}X){\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n:=L_X{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n$

a on L_X és la derivada de Lie a lo llarc del camp de vectores X. En coordenades locals, s'obté

$\text{div}X=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_i\left(\sqrt{|g|}{X}^i\right)$

a on la notació d'Einstein està implícita, per lo que l'índex i repetida se sumixca sobre. El gradient d'una funció ƒ escalar és el vector del camp grad f que pot definir-se a través del producte intern $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ en el colector, com

$⟨\text{grad}f(x),v_x⟩=df(x)(v_x)$

per a tots els vectores v x ancorats en el punt x en l'espai tangente T x H del colector en el punt x. Ací, d ƒ és la derivada exterior de la funció f, és una 1-forma pren argumente v x. En coordenades locals, un té

${\left(\text{grad}f\right)}^i={\partial }^{i}f=g^{ij}{\partial }_{j}f$

a on g^ij són els components de l'inversa del tensor mètric, de modo que g^ijg_jk = δⁱ_k with δⁱ_k en la delta de Kronecker. La combinació de les definicions de la pendent i la divergència, la fòrmula per a l'operador de Laplace-Beltrami Δ aplica a una funció ƒ escalar és, en coordenades locals

$\Delta f=\mathrm{div}\mathrm{grad}f=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_i\left(\sqrt{|g|}{g}^{ij}{\partial }_{j}f\right).$

Si M no està orientada, llavors el càlcul anterior porta a terme exactament i com es presenten, a excepció de que la forma del volum deu ser substituït per un element de volum (una densitat en lloc d'una forma). Ni el gradient ni la divergència en realitat depenen de l'elecció de l'orientació, per lo que l'operador de Laplace-Beltrami en sí no depén d'esta estructura adicional.

Formal self-adjointness

La derivada exterior d i −∇ són adjunts formals, en el sentit de que per a ƒ una funció compatible de forma compacta

$\underset{M}{\int }df(X){\mathrm{vol}}_n=-\underset{M}{\int }f\mathrm{\nabla }\cdot X{\mathrm{vol}}_n$     (proof)

a on l'última igualtat és una aplicació de la teorema de Stokes. La dualización dona

per a totes les funcions soportades de forma compacta ƒ i h. Pel contrari, ( 2 ) caracterisa a l'operador de Laplace-Beltrami per complet, en el sentit de que és l'únic operador en esta propietat.

Com a conseqüència, l'operador de Laplace-Beltrami és negatiu i formalment autoadjunto, lo que significa que per a funcions soportades de forma compacta ƒ i h,

$\underset{M}{\int }f{\mathrm{\nabla }}^{2}h{\mathrm{vol}}_n=-\underset{M}{\int }⟨df,dh⟩{\mathrm{vol}}_n=\underset{M}{\int }h{\mathrm{\nabla }}^{2}f{\mathrm{vol}}_n.$

Degut a que l'operador de Laplace-Beltrami, com es definix d'esta manera, és negatiu en lloc de positiu, a sovint es definix en el signe opost.

Referències

• (1984).«Eigenvalues in Riemannian Geometry».Academic Press.115.
• (1989).«Differential forms with applications to the physical sciences».Dover.
• (2002).«Riemannian Geometry and Geometric Analysis».Springer-Verlag..