Ergodicidad

La ergodicidad és una propietat d'alguns sistemes mecànics que permet justificar certs resultats de la mecànica estadística. Un sistema és ergòdic si el seu valor esperat (el promig de molts sistemes independents realisant l'experiment) és igual al seu promig a llarc determini (el promig d'un únic sistema realisant l'experiment repetidament, mantenint el seu estat d'una mostra al següent), de modo que les seues propietats estadístiques promig poden deduir-se d'una única mostra aleatòria suficientment gran del comportament del sistema. Açò correspon a que l'únic conjunt invariante de medida no nula de la hipersuperficie d'energia constant del espai de les fases és tota la hipersuperficie d'energia constant.^{cita requerida}

Els sistemes ergòdics tenen l'interés de que en ells el promig temporal de certes magnituts poden obtindre's com a promijos sobre l'espai d'estats, lo que simplifica les prediccions sobre els mateixos.

Definició de sistema ergòdic

Un sistema ergòdic es pot representar per un espai d'estats $ℳ$ (al modo d'un espai fásico) i la dinàmica del sistema es representa per un conjunt d'aplicacions que conserven la mida d'un conjunt:

Que assigna a cada estat l'estat futur passat un temps t. Les aplicacions anteriors en la composició de funcions formen un semigrupo (i si estan definides les inverses un grup uniparamétrico). Un sistema és ergòdic si no existix un subconjunt propi de l'espai d'estats en una mida finita que siga invariante pel conjunt d'aplicacions, en atres paraules, l'evolució d'un conjunt d'estats que ocupe un volum finito de dit espai, necessàriament s'expandix per tot l'espai en evolucionar cada u dels seus punts.

Més formalment, siga $ℳ=(X,\Sigma ,\mu )$ un espai de mida en el que s'ha definit un grup uniparamétrico (o alternativament semigrupo) d'aplicacions mesurables. I siga $A\subset X$ un conjunt invariante per les aplicacions és dir tal que:

Llavors el sistema és ergòdic si i solament si:

$A=X$ o $\mu (A)=0$

És dir, si els únics conjunts invariantes són o tot l'espai (trivialmente) o conjunts de mida nula (és dir, conjunts neglibles probabilísticamente).

Ergodicidad i teorema ergòdica de Birkhoff

En els sistemes ergòdics és vàlit la teorema de Birkhoff que permet substituir promijos temporals del sistema per un promig espacial sobre una regió de l'espai de les fases. L'enunciat de la teorema ergòdica, per Birkhoff (1931) és el següent:

Siga $T:X\to X$ una transformació que preserva la mida en un espai de mida

$(X,\Sigma ,\mu )$. Es pot considerar el "promig temporal" d'una funció f que es comporta lo suficientment ben (més precisament, $f\in L^1(\mu )$). Este "promig temporal" es definix com la mida sobre les iteraciones de T escomençant en cert punt x i quan existix és:

$\hat{f}(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)$

Si es considera ademés el "promig espacial" de f, definit com:

$\overline{f}=\int fd\mu$

a on μ és la mida de provabilitat de l'espai: