Càlcul tensorial

Archiu:Components stress tensor cartesian.svg

Un tensor de segon orde, en tres dimensions.

En matemàtiques, el terme càlcul tensorial (també conegut com a càlcul de Ricci) fa referència a les operacions i algoritmes utilisats per a operar en tensorés.

En matemàtiques i en física, un tensor és certa classe d'entitat algebraica de varis components que generalisa els conceptes d'escalar, vector i matriu d'una manera que siga independent de qualsevol sistema de coordenades elegit. S'usa per a això el conveni de suma d'Einstein.

Una volta elegida una base vectorial, els components d'un tensor en una base vindran donades per una multimatriz. L'orde d'un tensor serà el número d'índexs necessari per a especificar sense ambigüitat un component d'un tensor: un escalar serà considerat com un tensor d'orde 0; un vector, un tensor d'orde 1; i donada una base vectorial, els tensors de segon orde poden ser representats per una matriu.

El càlcul tensorial descriu les regles de notació i manipulació d'índexs per a tensorés i camps tensoriales en una varietat diferenciable, en o sense tensor mètric o conexió.^[1]^[2]^[3]^[4]

Història

La paraula "tensor" s'utilisa a sovint com a abreviatura de camp tensorial, que és un valor tensorial definit en cada punt en una varietat. El primer en utilisar esta paraula va ser William Rowan Hamilton en 1846, amprant-la para lo que actualment es coneix com mòdul i va ser Woldemar Voigt en 1899 qui la va amprar en la seua accepció actual. La paraula tensor prové del llatí tensus, participi passat de tendere 'estirar, estendre'. El nom es va estendre perque la teoria de l'elasticitat va ser una de les primeres aplicacions físiques a on es varen usar tensors.

També és el nom modern de lo que solia cridar-se càlcul diferencial absolut (la base de càlcul tensorial), desenrollat per Gregorio Ricci-Curbastro entre 1887 i 1896, posteriorment popularisat en un artícul escrit en el seu alumne Tullio Levi-Civita en 1900.^[5] Jan Arnoldus Schouten va desenrollar la notació i el formalisme moderns per a este marc matemàtic i va fer contribucions a la teoria durant les seues aplicacions a la relativitat general i a la geometria diferencial a principis de el XX.^[6] L'introducció de relativitat general per part d'Albert Einstein al voltant de 1915 va supondre la seua aplicació pràctica. El propi Albert Einstein havia deprés de Levi-Civita l'us de tensors.^[7]

Treballant en un dels principals defensors de les formes diferencials, Élie Cartan, l'influent geómetra Shiing-Shen Chern va resumir el paper del càlcul tensorial en la geometria moderna:^[8]

En el nostre tema de geometria diferencial, a on es parla de varietats, una dificultat és que la geometria es descriu per mig de coordenades, pero les coordenades no tenen significat. Se'ls permet sofrir una transformació. I per a afrontar este tipo de situacions, una ferramenta important és el cridat anàlisis tensorial o càlcul de Ricci, que era nou per als matemàtics. En matemàtiques tens una funció, escrius la funció, calcules, sumes, multipliques o pots diferenciar. Tens alguna cosa molt concret. En geometria, la situació geomètrica es descriu per mig de números, pero pots canviar els teus números arbitrariament. Llavors, per a manejar açò, necessites el càlcul de Ricci.

Característiques i us

Les cantitats geomètriques i físiques poden ser categorizadas considerant els graus de llibertat inherents a la seua descripció. Les cantitats escalares són les que es poden representar per un sol número, per eixemple la massa. Hi ha també cantitats tipo vector, per eixemple força, que requerixen una llista de números per a la seua descripció. Finalment, les cantitats tals com formes quadràtiques requerixen d'una matriu per a la seua representació.

Els tensors generalisen els conceptes d'escalar, vector i matriu, que són casos particulars de tensors. La propietat que distinguix un escalar d'un vector, i distinguix abdós d'una cantitat tensorial més general és el número d'índexs en la matriu de la representació. Este número es diu ranc o orde d'un tensor. Aixina, els escalares són els tensors de ranc zero (sense índexs), els vectores són els tensors de ranc un i les matrius són tensors de ranc 2.

Us de tensors

No totes les relacions en la naturalea són llineals, pero la majoria és diferenciable i aixina es poden aproximar localment en sumes de funcions multilineales. Aixina la majoria de les magnituts en física es poden expressar com a tensors.

Un eixemple simple és la descripció d'una força aplicada al moviment d'una nau en l'aigua. La força és un vector, i la nau respondrà en una acceleració, que és també un vector. L'acceleració en general no estarà en la mateixa direcció que la força, per la forma particular del cos de la nau. No obstant, resulta que la relació entre la força i l'acceleració és llineal. Tal relació és descrita per un tensor del tipo (1, 1), és dir, que transforma un vector en un atre vector. El tensor es pot representar com una matriu que quan és multiplicada per un vector, done lloc a un atre vector. Aixina com els números que representen un vector canviaran si un canvia el conjunt de coordenades, els números en la matriu que representa el tensor també canviaran quan es canvie el conjunt de coordenades.

En l'ingenieria, les tensions en l'interior d'un sòlit rígit o líquit també són descrites per un tensor. Si se selecciona un element superficial particular en el material, el material en un costat de la superfície aplicarà una força en l'atre costat. En general, esta força no serà ortogonal a la superfície, sino que dependrà de l'orientació de la superfície d'una manera llineal. Açò és descrit per un tensor del tipo (2, 0), o més exactament per un camp tensorial del tipo (2, 0) posat que les tensions poden canviar punt a punt.

Alguns eixemples ben coneguts de tensors en geometria són les formes quadràtiques, i el tensor de curvatura. Alguns eixemples de tensors físics són el tensor d'energia-moment, el tensor de polarisació i el tensor dielèctric.

Conceptes bàsics

En un sentit pràctic un tensor és un objecte matemàtic representat per un cert conjunt de components. Per a definir un tensor és necessari partir d'un espai físic o varietat diferenciable que definix quin és l'espai vectorial base V sobre el que es construiran tensors de diferent tipo i orde. En mecànica clàssica, per eixemple, l'espai és $ℝ^{3}$ , encara que en la teoria de la relativitat especial l'espai base és isomorfo a $ℝ^{4}$ i en la teoria general de la relativitat és l'espai tangente a una varietat lorentziana de quatre dimensions. En matemàtiques lo més usual és construir la teoria sobre una varietat riemanniana o varietat pseudoriemanniana n-dimensional.

Tractament clàssic dels tensors

L'enfocament clàssic visualisa els tensors com "matrius" d'orde superior que són generalisacions n-dimensionals dels escalares, vectores d'1 dimensió i matrius de 2 dimensions. En este enfocament els número real que apareixen en dites "matrius" són els components del tensor en una base concreta. Si be per als casos pràctics este modo de representació pot ser molt intuïtiu dificulta la manipulació formal per a atres fins menys pràctics.

Els "components" tensoriales són els índexs de l'apany. Esta idea pot ser generalisada encara més als camps tensoriales, a on els elements del tensor són funcions, o inclús diferencials. La teoria del camp tensorial es pot vore, grosso modo, com una atra extensió de l'idea del jacobiano.

Enfocament modern

L'enfocament modern visualisa els tensors inicialment com a objectes abstractes, construïts sobre espais vectorials abstractes, en els que es definix un producte tensorial que permet construir estructures típiques del àlgebra multilineal. Les seues propietats ben conegudes es poden derivar de les seues definicions, com a funcions llineals o inclús més generals; i les regles per a les manipulacions de tensors es presenten com a extensió del àlgebra llineal al àlgebra multilineal.

Este tractament ha substituït en gran partix el tractament basat en components per a l'estudi alvançat, a la manera en que el tractament més modern dels vectores, lliure de components, substituïx el tractament basat en components tradicional encara que este últim s'haja utilisat per a proporcionar una motivació elemental per al concepte d'un vector. Es podria dir que el lema és 'tensors són elements d'un cert espai tensorial'.

L'enfocament modern està més estretament associat al tractament que els matemàtics han fet del càlcul tensorial en el que les notacions generalment representen l'objecte tensorial i secundariamente els components. Açò contrasta en el tractament clàssic dels tensors en les ciències físiques que sol representar els tensors per mig dels seus components i emfatisa molt les propietats associades a la transformació de coordenades en passar d'un sistema de referència a un atre, o quan es canvien les coordenades.

Vore també

Referències

↑ Si be la pujada i baixada d'índexs depén d'un tensor mètric, la derivada covariant solament depén de la seua conexió, mentres que la derivada exterior i la derivada de Lie no depenen de cap dels dos.
↑ (1949) Tensor Calculus, first Dover Publications 1978 edition, pp. 6–108.
↑ (1973) Gravitation, W.H. Freeman & Co, pp. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
↑ R. Penrose (2007). El camí a la realitat: Una guia completa a les lleis de l'univers, Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
↑ “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications” [Methods of the absolute differential calculus and their applications] (fr) . Mathematische Annalen 54 (1–2): 125–201. Springer. doi:10.1007/BF01454201.
↑ Schouten, Jan A. (1924). R. Courant (ed.). Der Ricci-Kalkül – Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Ricci Calculus – An introduction in the latest methods and problems in multi-dimensional differential geometry) (vol. 10) (en de), Berlin: Springer Verlag.
↑ Thomas F. Glick (2005). Einstein i els espanyols: ciència i societat en l'Espanya de entreguerras, Editorial CSIC - CSIC Press, pp. 155 de 411. ISBN 9788400083588.
↑ “Interview with Shiing Shen Chern” . Notices of the AMS 45 (7): 860–5.

Bibliografia

A. I. Borisenko, I. E. Tarapov (1979). Vector and Tensor Analysis With Applications, Worth Publishers. ISBN 9780486638331.
K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence (2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press. ISBN 9780521861533.
Tai L. Chow (2000). Mathematical Methods for Physicists: A Concise Introduction, Cambridge University Press. ISBN 9780521652278.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cálculo tensorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Si be la pujada i baixada d'índexs depén d'un tensor mètric, la derivada covariant solament depén de la seua conexió, mentres que la derivada exterior i la derivada de Lie no depenen de cap dels dos.

[2] (1949) Tensor Calculus, first Dover Publications 1978 edition, pp. 6–108.

[3] (1973) Gravitation, W.H. Freeman & Co, pp. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.

[dup-0-68-4] R. Penrose (2007). El camí a la realitat: Una guia completa a les lleis de l'univers, Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.

[5] “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications” [Methods of the absolute differential calculus and their applications] (fr) . Mathematische Annalen 54 (1–2): 125–201. Springer. doi:10.1007/BF01454201.

[6] Schouten, Jan A. (1924). R. Courant (ed.). Der Ricci-Kalkül – Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Ricci Calculus – An introduction in the latest methods and problems in multi-dimensional differential geometry) (vol. 10) (en de), Berlin: Springer Verlag.

[TFG-7] Thomas F. Glick (2005). Einstein i els espanyols: ciència i societat en l'Espanya de entreguerras, Editorial CSIC - CSIC Press, pp. 155 de 411. ISBN 9788400083588.

[8] “Interview with Shiing Shen Chern” . Notices of the AMS 45 (7): 860–5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]