Grau de llibertat (física)

Grau de llibertat (física)

El número de graus de llibertat d'un sistema físic és el número mínim de coordenades independents (escalares) necessàries per a determinar simultàneament la posició de cada partícula en un sistema dinàmic. El concepte apareix en mecànica clàssica, termodinàmica, mecànica relativista i mecànica quàntica.

Una partícula puntual en l'espai té tres graus de llibertat, és dir, es necessiten tres coordenades per a definir la seua posició. l'espai de fases associat a eixe moviment es constituïx en tres eixos referents a la seua posició (x,i,z) i atres tres associats als seus respectius moments llineals $(p_x,p_y,p_z)$. En el pla, una partícula material posseïx 2 graus de llibertat i 4 eixos en l'espai de fasesPlantilla:Dubious. En el marc de la física clàssica, en un sistema en un número finito de graus de llibertat, es requerix una equació diferencial per a calcular l'evolució temporal de l'estat dinàmic de dit sistema. El número de graus de llibertat d'un sistema quan existixen lligam entre les partícules, serà el número de graus de llibertat del sistema sense lligam, menys el número de lligam que relacionen les variables. Observe's que esta definició no coincidix ni en la definició de graus de llibertat que s'usa en ingenieria de màquines, ni en la que s'usa en ingenieria estructural.

Graus de llibertat en mecànica clàssica

En mecànica hamiltoniana el número de graus de llibertat d'un sistema coincidix en la dimensió topològica del espai de fases del sistema. En mecànica lagrangiana el número de graus de llibertat coincidix la dimensió del fibrado tangente de l'espai de configuració del sistema.

Un conjunt de N partícules intereactuantes pero movent-se sense restriccions en l'espai tridimensional té 3N graus de llibertat. Si el conjunt de partícules es mou sobre un estat d-dimensional el número de graus de llibertat és 2d·N.

Si existixen $k$ lligam entre les partícules el número de graus de llibertat serà:

$GL=3N-k\le 3N$

Eixemples

• Partícula lliure, una partícula puntual que es mou lliure sense restriccions té 3 graus de llibertat, 1 per cada dimensió en la que es pot moure.

• Partícula obligada a moure's sobre una superfície, la superfície supon una lligam per a les posicions, ya que deu complir-se

$F(x,y,z)=0$

i una atra per a les velocitats, ya que la velocitat deu ser en tot moment tangente a la superfície, per

lo que ::$0=𝐯\cdot 𝐧=𝐯\cdot \mathrm{\nabla }F=v_x\frac{\partial F}{\partial x}+v_y\frac{\partial F}{\partial y}+v_z\frac{\partial F}{\partial z}$

per tant, el número de graus de llibertat és

$GL=6-2=4$

valor que coincidix en lo que s'espera per a un moviment en una varietat bidimensional.

Eixemple: Diferents formes de visualisar els 3 graus de llibertat d'una molècula diatómica en forma de pesa. (CM: centre de masses del sistema, T: moviment traslacional, R: moviment rotacional, V: moviment vibracional.)

• Dos partícules en els extrems d'una vareta

Per tindre dos partícules tenim 12 graus de llibertat, pero la condició de que la distància entre les partícules siga fixada supon una lligam per a les seues posicions i una atra per a les seues velocitats, lo que nos dona

$GL=12-2=10$

Estos graus de llibertat es poden representar per variables diferents (les tres coordenades del centre de la vareta i els dos ànguls que donen l'orientació d'esta, en les seues corresponents velocitats).

• Un sòlit rígit. En mecànica es reconeixen dos tipos de sòlit rígit: els que estan composts d'una distribució de massa contínua i els formats per $n$ masses puntuals unides per enllaços rígits. No és difícil calcular el número de graus de llibertat d'un sòlit rígit de massa contínua; el número de graus de llibertat és 6, 3 coordenades necessàries per a localisar el centre de massa del sistema i 3 més per a descriure la seua orientació.

Per a un sòlit constituït per $n$ partícules es deu considerar que en principi cada una posseïx 3 graus de llibertat. Es deuen considerar també

$\frac{n(n-1)}{2}$

equacions de constricció degudes a que la distància entre les partícules és fixa. Si nosatres elegim ara tres partícules per a generar un pla, la llínea que unix els seus centres de massa és un possible eix de rotació per al sistema. En lo que devem sumar el número de parells que es poden fer d'un conjunt de $n-3$ partícules

$C_{n-3}^2=\frac{(n-3)(n-4)}{2}$.

En lo que el número de graus de llibertat per a este sòlit és:

$3n-\frac{n(n-1)}{2}+\frac{(n-3)(n-4)}{2}=6$.

En general, no totes les lligam poden representar-se per mig d'una reducció en el número de variables (encara que sí en el número de variables independents). Quan tenim un sistema en el qual les lligam no són integrables, es diu que el sistema és no holónomo.

• Solguts deformables, decorreguts, camps i fenomens de transport, en sistemes continus en que es requerix especificar certes magnituts per a cada punt de l'espai ocupat per una distribució de massa, no poden ser tractats adequadament en un número finito i chicotet de graus de llibertat. La descripció general de dits sistemes requerix un "número infinit" de graus de llibertat, per lo la seua evolució temporal deuen estudiar-se per mig d'equacions diferencials en derivades parcials, en lloc d'equacions diferencials ordinàries.

És important senyalar que la convenció per a contabilisar els graus de llibertat en ingenieria mecànica és diferent, sent justament la mitat que en els casos (1) i (2).

Graus de llibertat en mecànica estadística

Teorema de equipartición de l'energia

Artícul principal → Teorema de equipartición.

En el llímit clàssic de la mecànica estadística l'energia d'un sistema en equilibri tèrmic en n graus de llibertat quadràtics i independents és:

$U=⟨E⟩=n\frac{k_{B}T}{2}$

Símbol	Nom
$k_B$	Constant de Bolzmann
$T$	Temperatura
$n$	Número de graus de llibertat del sistema