Constant de Boltzmann

La constant de Boltzmann ( $k o k B$ ) és la constant física que relaciona temperatura absoluta i energia.^[1] Es diu aixina en honor del físic austriaco Ludwig Boltzmann, qui va fer importants contribucions a la teoria de la mecànica estadística, en les equacions fonamentals de la qual esta constant eixercita un paper central. El seu valor és un número fix sense incertitut (26° CGPM de novembre de 2018, en vigor des del 20 de maig de 2019):^[2]^[3]

k = 1, 380649 \times 1 0^{- 23}

J

/

K

Valors de k	Unitats
1,380649 × 10⁻²³	J K⁻¹
8,617333262 × 10^-5	eV K⁻¹

Com a part de la Redefinició de les unitats de el SI en 2019, la constant de Boltzmann és una de les sèt "constants definitorias" que han rebut definicions exactes. S'utilisen en diverses combinacions per a definir les sèt unitats bàsiques de el SI. La constant de Boltzmann es definix exactament com 1,380649·10^-23J.K^-1.^[3]

Importància en la definició estadística d'entropía

Vore també: Relació estadística-termodinàmica

Archiu:Zentralfriedhof Vienna - Boltzmann. caps block 9

Tomba de Ludwig Boltzmann en el cementeri central de Viena, a on apareix gravada la fòrmula de la entropía.

En mecànica estadística, la entropía, S, d'un sistema aïllat en equilibri termodinàmic es definix com el logaritmo natural de W, el número d'estats microscòpics definits en els que pot aplegar a estar un sistema donades les llimitacions macroscòpiques (com, per eixemple, l'energia total fixa, I):

S = k \ln W .

Esta equació, que relaciona els detalls microscòpics o microestats del sistema (a través de W) en el seu estat macroscòpic (a través de la entropía S), és l'idea central de la mecànica estadística. És tal la seua importància que va ser gravada en la làpida de la tomba de Boltzmann.

La constant de proporcionalitat, k, relaciona la entropía de la mecànica estadística en la entropía de la termodinàmica clàssica de Clausius:

Δ S = \int \frac{d Q}{T} .

Podria elegir-se una entropía escalada adimensional en térmens microscòpics tals que

S^{'} = \ln W; Δ S^{'} = \int \frac{d Q}{k T} .

Es tracta d'una forma molt més natural, i esta entropía reajustada correspon exactament a la entropía de l'informació desenrollada posteriorment per Claude Elwood Shannon.

Ací, l'energia característica, kT, és la calor necessària per a aumentar la entropía reajustada per un nat.

Funcions de la constant de Boltzmann

Macroscópicamente, la llei dels gasos ideals establix que, per a un gas ideal, el producte de la pressió $p$ i el volum $V$ és proporcional al producte de cantitat de substància $n$ i la temperatura absoluta $T$ :

p V = n R T,

a on $R$ és la constant molar dels gasos (8.31446261815324 J⋅K⁻¹⋅mol⁻¹).^[4] Introduint la constant de Boltzmann com la constant de gas per molècula^[5] $k = R / N A$ transforma la llei dels gasos ideals en una forma alternativa:

p V = N k T,

a on $N$ és el número de molècules del gas.

Paper en la equipartición de l'energia

Artícul principal → Teorema de equipartición.

Donat un sistema termodinàmic a una temperatura absoluta $T$ , l'energia tèrmica mija transportada per cada grau de llibertat microscòpic del sistema és $Plantilla:SfrackT$ (és dir, aproximadament 2,07 ^-21J, o 0,013 eV, a temperatura ambiente). En general, açò només és cert per a sistemes clàssics en un gran número de partícules, i en els que els efectes quàntics són despreciables.

En Mecànica estadística clàssica es prediu que esta mija es complix exactament para gasos ideals homogéneus. Els gasos ideals monoatómicos (els sis gasos nobles) posseïxen tres graus de llibertat per àtom, corresponents a les tres direccions espacials. Segons la equipartición de l'energia, açò significa que existix una energia tèrmica de $Plantilla:SfrackT$ per àtom. Açò es correspon molt be en les senyes experimentals. L'energia tèrmica es pot utilisar per a calcular la velocitat mija quadràtica dels àtoms, que resulta ser inversamente proporcional a la raïl quadrada de la massa atòmica. Les velocitats quadràtiques miges trobades a temperatura ambiente reflectixen açò en precisió, i van des de 1370 m/s per al heli, fins a 240 m/s per al xenón.

La Teoria cinètica dona la pressió mija $p$ per a un gas ideal com

p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m \overline{v^{2}} .

Combinada en la llei dels gasos ideals

p V = N k T

mostra que l'energia cinètica de translació mija és

\frac{1}{2} m \overline{v^{2}} = \frac{3}{2} k T .

Si es considera que el vector de velocitat del moviment de translació $v$ té tres graus de llibertat (un per cada dimensió), l'energia mija per grau de llibertat és igual a un terç d'aquella, és dir, $Plantilla:SfrackT$ .

L'equació dels gasos ideals també es complix a rajatabla en els gasos moleculars, pero la forma de la capacitat calorífica és més complicada, ya que les molècules posseïxen graus de llibertat interns adicionals, ademés dels tres graus de llibertat de moviment de la molècula en el seu conjunt. Els gasos diatómicos, per eixemple, posseïxen un total de sis graus de llibertat simples per molècula que estan relacionats en el moviment atòmic (tres traslacionales, dos rotacionales i un vibracional). A temperatures més baixes, és possible que no tots estos graus de llibertat participen plenament en la capacitat calorífica del gas, pels llímits de la mecànica quàntica sobre la disponibilitat d'estats excitats a l'energia tèrmica pertinent per molècula.

Paper en els factors de Boltzmann

De forma més general, els sistemes en equilibri a temperatura $T$ tenen provabilitat $P i$ d'ocupar un estat $i$ en energia $I$ ponderada pel corresponent factor de Boltzmann:

P_{i} \propto \frac{\exp (- \frac{E}{k T})}{Z},

a on $Z$ és la funció de partició. De nou, és la cantitat pareguda a l'energia $kT$ la que adquirix una importància central.

Les conseqüències d'açò inclouen (ademés dels resultats per a gasos ideals anteriors) la equació de Arrhenius en cinètica química.

Paper en la definició estadística d'entropía

En mecànica estadística, la entropía $S$ d'un sistema aïllat en equilibri termodinàmic es definix com el logaritmo natural de $W$ , el número d'estats microscòpics distints disponibles per al sistema donades les restriccions macroscòpiques (com una energia total fixa $I$ ):

S = k \ln W .

Esta equació, que relaciona els detalls microscòpics, o microestats, del sistema (a través de $W$ ) en el seu estat macroscòpic (a través de la entropía $S$ ), és l'idea central de la mecànica estadística. La seua importància és tal que està inscrita en la làpida de Boltzmann.

La constant de proporcionalitat $k$ servix per a que la entropía mecànica estadística siga igual a la entropía termodinàmica clàssica de Clausius:

Δ S = \int \frac{d Q}{T} .

Es podria elegir en el seu lloc una entropía adimensional reescalada en térmens microscòpics tal que

S^{'} = \ln W, Δ S^{'} = \int \frac{d Q}{k T} .

Esta és una forma més natural i esta entropía reescalada correspon exactament a la posterior entropía de l'informació de Shannon.

L'energia característica $kT$ és llavors l'energia requerida per a incrementar la entropía reescalada en una nat.

La tensió tèrmicaPlantilla:Anchor

En semiconductors, la equació del diodo de Shockley-la relació entre el fluix de corrent elèctrica i el potencial electrostàtic a través d'una unió p-n-depén d'una tensió característica cridada tensió tèrmica, denotada per $V T$ . La tensió tèrmica depén de la temperatura absoluta $T$ com $V_{T} = \frac{k T}{q} = \frac{R T}{F},$ a on $q$ és la magnitut de la càrrega elèctrica de l'electró en un valor equivalent, $\frac{V_{T}}{T} = \frac{k}{q} \approx 8.61733034 \times 1 0^{- 5} V / K .$

A temperatura ambiente Error de Lua: expandTemplate: template "es:formatnum" does not exist., $V T$ és aproximadament 25.85 mV^[6]^[7] que pot obtindre's introduint els valors de la següent manera:

$V_{T} = \frac{k T}{q} = \frac{1.38 \times 1 0^{- 23} J \cdot K^{- 1} \times 300 K}{1.6 \times 1 0^{- 19} C} ≃ 25.85 m V$

A la temperatura estàndar de 298,15 K (25 °C;77 °F) és aproximadament 25,69 mV. El voltage tèrmic també és important en plasmes i solucions electrolítiques (per eixemple, la equació de Nernst); en abdós casos proporciona una mida de quant afecta a la distribució espacial d'electrons o ions una frontera mantinguda a un voltage fix.^[8]^[9]

Referències

↑ Richard Feynman (1970). The Feynman Lectures on Physics Vol I, Addison Wesley Longman. ISBN 978-0-201-02115-8.
↑ «BIPM - SI base unit (kelvin)». www.bipm.org. Archivat des d'el original, el 9 d'octubre de 2020. Consultat el 2020-10-08.
↑ ^3,0 ^3,1 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada SI2019
↑ «page=23 Proceedings of the 106th meeting».
↑ QUÍMICA GENERAL: Principis i aplicacions modernes, 8th edició, Prentice Hall, p. 785. ISBN 0-13-014329-4.
↑ Circuits microelectrónicos: anàlisis i disseny, Third edició, Cengage Learning, pp. 183– 184. ISBN 9781305635166.
↑ Plantilla:Cite arXiv
↑ Kirby, Brian J. (2009). pdf Mecànica de decorreguts a micro i nanoescala: Transport en dispositius microfluídicos, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
↑ Tabeling, Patrick (2006). Introduction to Microfluidics, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856864-3.

Este artícul conté una traducció derivada de «Constante de Boltzmann» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Feynman1Ch39-10-1] Richard Feynman (1970). The Feynman Lectures on Physics Vol I, Addison Wesley Longman. ISBN 978-0-201-02115-8.

[2] «BIPM - SI base unit (kelvin)». www.bipm.org. Archivat des d'el original, el 9 d'octubre de 2020. Consultat el 2020-10-08.

[SI2019-3] 3,0 ^3,1 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada SI2019

[4] «page=23 Proceedings of the 106th meeting».

[5] QUÍMICA GENERAL: Principis i aplicacions modernes, 8th edició, Prentice Hall, p. 785. ISBN 0-13-014329-4.

[6] Circuits microelectrónicos: anàlisis i disseny, Third edició, Cengage Learning, pp. 183– 184. ISBN 9781305635166.

[7] Plantilla:Cite arXiv

[Kirby-8] Kirby, Brian J. (2009). pdf Mecànica de decorreguts a micro i nanoescala: Transport en dispositius microfluídicos, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.

[Tabeling-9] Tabeling, Patrick (2006). Introduction to Microfluidics, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856864-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]